403
правки
Изменения
Новая страница: «{{В разработке}} Категория:Математический анализ 1 курс == Длина дуги == {{Определение |definit…»
{{В разработке}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Длина дуги ==
{{Определение
|definition=
Дуга {{---}} множество точек <tex>(x; y)</tex> таких, что <tex>\begin{cases}x = \varphi(t) \\y = \psi(t) \\t \in [a; b]\end{cases}</tex>
}}
Для того, чтобы не получался <s>патологический</s> объект, сильно отличающийся от понятия дуги, продиктованного здравым смыслом,
на <tex>\varphi(t)</tex> и <tex>\psi(t)</tex> накладываются следующие ограничение: «<tex>\varphi</tex> и <tex>\psi</tex> непрерывны». Но даже в этом случае может
получиться полная хрень. Например, Пеано была построена дуга, проходящая через каждую точку квадрата.
Поэтому, на <tex>\varphi</tex> и <tex>\psi</tex> накладывается ещё больше ограничений:
* у дуги нет самопересечений
* <tex>\varphi</tex>, <tex>\psi</tex> {{---}} непрерывно дифференцируемы
* у кривой нет угловых точек (<tex>(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2 > 0</tex>)
Поэтому, на все тонкости можно не обращать внимания, и считать, что всё хорошо.
{{Определение
|definition=
Далее, лишь для удобства при написании, <tex>\dot\varphi</tex> {{---}} то же самое, что <tex>\varphi'</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть дуга задана точками <tex>P(\varphi(t), \psi(t))</tex>, <tex>t \in [a; b]</tex>. Тогда <tex>L(P) = \int\limits_a^b \sqrt{\dot\varphi^2(t) + \dot\psi^2(t)} dt</tex>
|proof=
Возьмём разбиение <tex>\tau \colon a \leq t_0 < t_1 < \ldots < t_n \leq b</tex>.
<tex>\Delta x_k= \varphi(t_{k + 1}) - \varphi(t_k)</tex>
<tex>\Delta y_k = \psi(t_{k + 1} - \psi(t_k))</tex>.
Рассмотрим отрезок <tex>P_kP_{k+1}</tex>. Он является хордой дуги и его длина равна <tex>\sqrt{\Delta x_k^2 + \Delta y_k^2}</tex>.
{{Определение
|definition=
Ломаная <tex>P_0 P_1 \ldots P_n</tex> {{---}} вписанная в дугу.
}}
Сложив длины этих отрезков, получаем длину ломаной, состоящей их них.
<tex>|\Gamma| = |P_0 P_1 \ldots P_n| = l(\tau)</tex>.
{{Определение
|definition=
<tex>l(\Gamma) = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} l(\tau)</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Если <tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} l(\tau)</tex> {{---}} конечен, то дуга называется спрямляемой.
}}
Докажем в заданных ограничениях, что дуга всегда спрямляемая.
{{TODO|t=Понимание, вернись!}}
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Длина дуги ==
{{Определение
|definition=
Дуга {{---}} множество точек <tex>(x; y)</tex> таких, что <tex>\begin{cases}x = \varphi(t) \\y = \psi(t) \\t \in [a; b]\end{cases}</tex>
}}
Для того, чтобы не получался <s>патологический</s> объект, сильно отличающийся от понятия дуги, продиктованного здравым смыслом,
на <tex>\varphi(t)</tex> и <tex>\psi(t)</tex> накладываются следующие ограничение: «<tex>\varphi</tex> и <tex>\psi</tex> непрерывны». Но даже в этом случае может
получиться полная хрень. Например, Пеано была построена дуга, проходящая через каждую точку квадрата.
Поэтому, на <tex>\varphi</tex> и <tex>\psi</tex> накладывается ещё больше ограничений:
* у дуги нет самопересечений
* <tex>\varphi</tex>, <tex>\psi</tex> {{---}} непрерывно дифференцируемы
* у кривой нет угловых точек (<tex>(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2 > 0</tex>)
Поэтому, на все тонкости можно не обращать внимания, и считать, что всё хорошо.
{{Определение
|definition=
Далее, лишь для удобства при написании, <tex>\dot\varphi</tex> {{---}} то же самое, что <tex>\varphi'</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть дуга задана точками <tex>P(\varphi(t), \psi(t))</tex>, <tex>t \in [a; b]</tex>. Тогда <tex>L(P) = \int\limits_a^b \sqrt{\dot\varphi^2(t) + \dot\psi^2(t)} dt</tex>
|proof=
Возьмём разбиение <tex>\tau \colon a \leq t_0 < t_1 < \ldots < t_n \leq b</tex>.
<tex>\Delta x_k= \varphi(t_{k + 1}) - \varphi(t_k)</tex>
<tex>\Delta y_k = \psi(t_{k + 1} - \psi(t_k))</tex>.
Рассмотрим отрезок <tex>P_kP_{k+1}</tex>. Он является хордой дуги и его длина равна <tex>\sqrt{\Delta x_k^2 + \Delta y_k^2}</tex>.
{{Определение
|definition=
Ломаная <tex>P_0 P_1 \ldots P_n</tex> {{---}} вписанная в дугу.
}}
Сложив длины этих отрезков, получаем длину ломаной, состоящей их них.
<tex>|\Gamma| = |P_0 P_1 \ldots P_n| = l(\tau)</tex>.
{{Определение
|definition=
<tex>l(\Gamma) = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} l(\tau)</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Если <tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} l(\tau)</tex> {{---}} конечен, то дуга называется спрямляемой.
}}
Докажем в заданных ограничениях, что дуга всегда спрямляемая.
{{TODO|t=Понимание, вернись!}}
}}
