276
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|about = об обратной функции
|statement= Пусть функция <tex>B(t) = b_1 t + b_2 t^2 + b_3 t^3 + \dots</tex> такова, что <tex>B(0) = b_0 = 0</tex>, а <tex>b_1 \ne 0</tex>. Тогда существуют такие функции <tex> A(s) = a_1 s + a_2 s^2 + a_3 s^3 + \dots</tex>, <tex>A(0) = 0</tex> и <tex>C(u) = c_1 u + c_2 u^2 + c_3 u^3 + \dots</tex>, <tex>C(0) = 0</tex>, что <tex>A(B(t)) = t</tex> и <tex>B(C(u)) = u</tex>. При этом, функции <tex>A</tex> и <tex>C</tex> единственны. Функция <tex>A</tex> называется левой обратной, а функция <tex>C</tex> {{---}} правой обратной к функции <tex>B</tex>.|proof=
:Докажем существование и единственность левой обратной функции. Доказательство для правой обратной аналогично. Будем определять кожффициенты функции <tex>A</tex> последовательно. Коэффициент <tex>a_1</tex> определяется из условия <tex>a_1 b_1 = 1</tex>, откуда <tex>a_1 = \dfrac{1}{b_1}</tex>.
:Предположим теперь, что коэффициенты <tex>a_1, a_2, \dots, a_n</tex> уже определены. Коэффициент <tex>a_{n+1}</tex> определяется из условия <tex>a_{n+1} b_1^{n+1} + \dots = 0</tex>, где точками обозначен неокторый многочлен от <tex>a_1, \dots, a_n</tex> и <tex>b_1, \dots, b_n</tex>. Тем самым, условие представляет собой линейное уравнение на <tex>a_{n+1}</tex>, причем коэффициент <tex>b_1^{n+1}</tex> при <tex>a_{n+1}</tex> отличен от нуля. Такое уравнение имеет единственное решение, и теорема доказана.
}}
{{Лемма
|about = деление формальных степенных рядов
|statement = Пусть <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + a_3 s^3 + \dots </tex> {{---}} формальный степенной ряд, причем <tex>A(0) \ne 0</tex>. Тогда существует единственный формальный степенной ряд <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + b_3 s^3 + \dots </tex>, такой что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>.
|proof =
:Снова проведем доказательство по индукции. <tex>b_0 = \dfrac{1}{a_0}</tex>. Пусть теперь все коэффициенты ряда <tex>B</tex> вплоть до степени <tex>n - 1</tex> однозначно определены. Коэффициент при <tex>s^n</tex> определяется из условия <tex>a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + \dots + a_n b_0 = 0</tex>. Это линейное уравнение на <tex>b_n</tex>, причем коэффициент <tex>a_0</tex> при <tex>b_n</tex> отличен от нуля. Поэтому уравнение имеет единсвтенное решение.
}}
