276
правок
Изменения
Нет описания правки
==Простейшие операции==''Суммой'' двух [[Производящая функция|производящих функций]] <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex> называется производящая функция <tex>A(s) + B(s) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) s + (a_2 + b2) s^2 + \dots</tex>. ''Произведением '' производящих функций <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называется производящая функция <tex>A(s)B(s) = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) s + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) s^2 + \dots</tex>.
Операции сложения и умножения производящих функций коммутативны и ассоциативны.
==Подстановка==
Пусть <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex> {{---}} две производящие функции, причем <tex>B(0) = b_0 = 0</tex>.
''Подстановкой '' производящей функции <tex>B</tex> в производящую функцию <tex>A</tex> называется производящая функция <tex>A(B(t)) = a_0 + a_1 b_1 t + (a_1 b_2 + a_2 b_1^2) t^2 + (a_1 b_3 + 2 a_2 b_1 b_2 + a_3 b_1^3) t^3 + \dots</tex>.
Если, например, <tex>B(t) = -t</tex>, то <tex>A(B(t)) = A(-t) = a_0 -a_1 t + a_2 t^2 - a_3 t^3 + \dots</tex>.
Операция подстановки функции, отличной от нуля в нуле, не определена. (При попытке подставить такую функцию возникает необходимость суммирования бесконечных числовых рядов).
==Обратная==
{{Теорема
|about = об обратной функции
}}
==Деление==
{{Лемма
|about = деление формальных степенных рядов
