38
правок
Изменения
Новая страница: «{{Теорема |statement= Если <tex> f </tex> {{---}} некоторый поток в сети <tex> G = (V, E) </tex> с источником <tex>s</tex> …»
{{Теорема
|statement=
Если <tex> f </tex> {{---}} некоторый поток в сети <tex> G = (V, E) </tex> с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, то следующие утверждения эквивалентны:
# Поток <tex> f </tex> максимален
# В <tex> G_f </tex> не существует пути <tex>s \leadsto t</tex>
# <tex> |f| = c(S, T) </tex> для некоторого разреза <tex> (S, T) </tex> сети <tex> G </tex>
|proof=
<tex> (1)\Rightarrow (2)</tex>
Докажем от противного. Предположим, что в <tex> G_f </tex> существует какой-нибудь путь <tex>p = s \leadsto t</tex>.
Тогда рассмотрим <tex> f + f_p </tex>. По [[Лемма_о_сложении_потоков|лемме о сумме потоков]] <tex> f + f_p </tex> тоже является потоком в сети <tex> G </tex>,
и причем <tex> |f + f_p| = |f| + |f_p| > |f| </tex>, что приводит нас к противоречию, что <tex> f </tex> максимальный поток.
<tex> (2) \Rightarrow (3) </tex>
Рассмотрим множество <tex> S = \lbrace v \in V : \exists\, s \leadsto v \text{ in } G_f \rbrace </tex> и <tex> T = V \setminus S</tex>.
Разбиение <tex> S </tex> и <tex> T </tex> является разрезом, так как не существует <tex> s \leadsto t</tex>.
По [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|лемме о потоке через разрез]] <tex> f(S, T) = |f| </tex>. Также <tex> \forall u \in S, v \in T</tex> известно, что <tex>f(u, v) = c(u, v) </tex>, так как иначе вершина <tex> v </tex>
должна была бы принадлежать множеству <tex> S </tex>. Поэтому <tex> c(S, T) = f(S, T) = |f| </tex>.
<tex> (3) \Rightarrow (1) </tex>
Так как существует разрез, такой что <tex> |f| = c(S, T) </tex>, то согласно [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|следствию леммы о слабой двойственности потока и разреза]] <tex> |f| \le c(S, T)</tex>, поэтому <tex> f </tex> максимален
}}
== Литература ==
* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
== См. также ==
* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину]]
|statement=
Если <tex> f </tex> {{---}} некоторый поток в сети <tex> G = (V, E) </tex> с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, то следующие утверждения эквивалентны:
# Поток <tex> f </tex> максимален
# В <tex> G_f </tex> не существует пути <tex>s \leadsto t</tex>
# <tex> |f| = c(S, T) </tex> для некоторого разреза <tex> (S, T) </tex> сети <tex> G </tex>
|proof=
<tex> (1)\Rightarrow (2)</tex>
Докажем от противного. Предположим, что в <tex> G_f </tex> существует какой-нибудь путь <tex>p = s \leadsto t</tex>.
Тогда рассмотрим <tex> f + f_p </tex>. По [[Лемма_о_сложении_потоков|лемме о сумме потоков]] <tex> f + f_p </tex> тоже является потоком в сети <tex> G </tex>,
и причем <tex> |f + f_p| = |f| + |f_p| > |f| </tex>, что приводит нас к противоречию, что <tex> f </tex> максимальный поток.
<tex> (2) \Rightarrow (3) </tex>
Рассмотрим множество <tex> S = \lbrace v \in V : \exists\, s \leadsto v \text{ in } G_f \rbrace </tex> и <tex> T = V \setminus S</tex>.
Разбиение <tex> S </tex> и <tex> T </tex> является разрезом, так как не существует <tex> s \leadsto t</tex>.
По [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|лемме о потоке через разрез]] <tex> f(S, T) = |f| </tex>. Также <tex> \forall u \in S, v \in T</tex> известно, что <tex>f(u, v) = c(u, v) </tex>, так как иначе вершина <tex> v </tex>
должна была бы принадлежать множеству <tex> S </tex>. Поэтому <tex> c(S, T) = f(S, T) = |f| </tex>.
<tex> (3) \Rightarrow (1) </tex>
Так как существует разрез, такой что <tex> |f| = c(S, T) </tex>, то согласно [[Разрез,_лемма_о_потоке_через_разрез|следствию леммы о слабой двойственности потока и разреза]] <tex> |f| \le c(S, T)</tex>, поэтому <tex> f </tex> максимален
}}
== Литература ==
* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
== См. также ==
* [[Алгоритм_Форда-Фалкерсона,_реализация_с_помощью_поиска_в_глубину|Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину]]
