Изменения

Ациклический граф '''Дерево''' (англ. ''tree'') {{--- }} связный ациклический [[Основные определения теории графов|граф, в котором нет циклов]]. 

Дерево '''Лес''' (англ. ''forest'') {{- это связный ациклический --}} [[Основные определения теории графов|граф]], являющийся набором непересекающихся деревьев.

{{Определение[[Файл:tree_def_2.png|400px|definition =Примеры леса]]Граф, не содержащий циклов, называется лесом. }}==ТеоремаОпределения=={{ТеоремаДля графа <tex>G</tex> эквивалентны следующие утверждения:|statement=# <tex>G</tex> — дерево.Для # Любые две вершины графа <tex>G</tex> с соединены единственным простым путем.# <tex>G</tex> — связен и <tex>p= q + 1 </tex> вершинами , где <tex>p</tex> — количество вершин, а <tex>q</tex> количество ребер.# <tex>G</tex> — ацикличен и <tex>p = q+ 1 </tex> ребрами следующие утверждения эквивалентны:, где <tex>p</tex> — количество вершин, а <tex>q</tex> количество ребер.# <tex>G</tex> — ацикличен и при добавлении любого ребра для [[Основные определения теории графов|несмежных вершин]] появляется один простой [[Основные определения теории графов|цикл]].# <tex>G</tex> — связный граф, отличный от <tex> K_p </tex> для <tex> p > 3 </tex>, а также при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл.# <tex>G</tex> — граф, отличный от <tex> K_3 \cup K_1 </tex> и <tex> K_3 \cup K_2 </tex>, а также <tex> p = q + 1) </tex>G, где <tex>p</tex> — количество вершин, а <tex>q</tex> количество ребер, и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл. ==Доказательство эквивалентности==<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> - дерево;:Граф связен, поэтому любые две вершнины соединены путем. Граф ацикличен, значит путь единственен, а также [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути|прост]], поскольку никакой путь не может зайти в одну вершину два раза, потому что это противоречит ацикличности.

<tex> 2) любые \Rightarrow 3 </tex> :Очевидно, что граф связен. Докажем по индукции, соотношение <tex>p = q + 1</tex>. Утверждение очевидно для связных графов с одной и двумя вершинами. Предположим, что оно верно для графов, имеющих меньше <tex>p</tex> вершин. Если же граф <tex>G</tex> имеет <tex>p</tex> вершин, то удаление из него любого ребра делает граф <tex> G </tex> несвязным в силу единственности простых цепей; более того, получаемый граф будет иметь в точности две вершины компоненты. По предположению индукции в каждой компоненте число вершин на единицу больше числа ребер. Таким образом, <tex>Gp = q + 1 </tex> соединены единственной простой цепью;.

3) <tex>G3 \Rightarrow 4 </tex> связный :Очевидно, что если граф связен и <tex>ребер на одно меньше, чем вершин, то он ацикличен. Преположим, что у нас есть p = q + 1</tex>;вершин, и мы добавляем ребра. Если мы добавили ребро для получения цикла, то добавили второй путь между парой вершин, а значит нам не хватит его на добавление вершины и мы получим не связный граф, что противоречит условию.

<tex> 4) \Rightarrow 5 </tex> :<tex>G</tex> — ациклический граф и , значит каждая компонента связности графа является деревом. Так как в каждой из них вершин на единицу больше чем ребер, то <tex> p = q + k </tex>, где <tex>k</tex> — число [[Отношение связности, компоненты связности|компонент связности]]. Поскольку <tex>p = q + k </tex>, то <tex> k = 1</tex>;, а значит <tex>G</tex> — связен. Таким образом наш граф — дерево, у которого между любой парой вершин есть единственный простой путь. Очевидно, при добавлении ребра появится второй путь между парой вершин, то есть мы получим цикл.

<tex> 5) \Rightarrow 6 </tex> :Поскольку <tex>GK_p </tex> - ациклический граф, и если любую праву несмежных вершин соединить ребром для <tex>xp > 3 </tex>содержит простой цикл, то в графе <tex>G + x</tex> будет точно один простой цикл;не может им являться. <tex>G</tex> связен, так как в ином случае можно было бы добавить ребро так, что граф остался бы ациклическим.

<tex> 6) \Rightarrow 7 </tex> :Докажем, что любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, а тогда поскольку <tex> 2 \Rightarrow 3 </tex>, получим <tex> p = q + 1 </tex>. Любые две вершины соединены простой цепью, так как <tex>G</tex> — связен. Если две вершины соединены более чем одной простой цепью, то мы получим цикл. Причем он должен являться <tex> K_3 </tex>, так как иначе добавив ребро, соединяющее две вершины цикла, мы получим более одного простого цикла, что противоречит условию. <tex> K_3 </tex> является собственным подграфом <tex>G</tex> - связный граф, отличный от Kпоскольку <subtex>pG</tex> не является <tex> K_p </subtex> для <tex>p \ge > 3</tex>. <tex>G</tex> — связен, и если любую пару несмежных вершин соединить ребром а значит есть вершина смежная с <tex>xK_3 </tex>. Очевидно, можно добавить ребро так, что образуется более одного простого цикла. Если нельзя добавить ребра так, чтобы не нарушалось исходное условие, то в графе граф <tex>G + x</tex> будет точно один является <tex>K_p</tex> для <tex> p > 3 </tex>, и мы получаем противоречие с исходным условием. Значит, любые две вершины графа соединены единственной простой цикл;цепью, что и требовалось.

<tex> 7) \Rightarrow 1 </tex> :Если <tex>G</tex> - Графимеет простой цикл, то он является отдельной компонентой <tex>K_3</tex> по ранее доказанному. Все остальные компоненты должны быть деревьями, отличный но для выполнения соотношения <tex> p = q + 1 </tex> должно быть не более одной компоненты отличной от K<subtex>K_3</tex>, так как в <tex>K_3</tex> <tex>p = q = 3</subtex> . Если это дерево содержит простой путь длины 2, то в <tex>\cupG</tex> можно добавить ребро так, что образуются два простых цикла. Следовательно, этим деревом является <tex>K_1</tex> Kили <subtex>1K_2</subtex> и K. Значит <subtex>3G</subtex>является <tex>K_3 \cupK_1</tex> Kили <subtex>2K_3 \cup K_2</subtex>, которые мы исключили из рассмотрения. Значит наш граф ацикличен. Если <tex>G</tex> ациклический и <tex>p = q + 1</tex>, то из <tex> 4 \Rightarrow 5 </tex> и если любую пару несмежных вершин соединить ребром <tex>x5 \Rightarrow 6 </tex>верно, то в графе что <tex>G + x</tex> будет точно один простой цикл — связен.|proof= Для примера докажем эквивалентность первых четырёх утвержденийВ итоге получаем, что <tex>G</tex> является деревом по определению.

1) <tex> \to </tex> 2) Поскольку <tex>G</tex> связный граф, то любые две его вершины соединены простой цепью. Пусть <tex>P_1</tex> и <tex>P_2</tex> - две различные простые цепи, соединяющие вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, и пусть <tex>w</tex> - первая вершина, принадлежащая <tex>P_1</tex> (при переходе по <tex>P_1</tex> из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>), такая, что <tex>w</tex> принадлежит и <tex>P_1</tex> и <tex>P_2</tex>, но вершина, предшествующая ей в <tex>P_1</tex>, не принадлежит <tex>P_2</tex>==См.Если <tex>w'</tex> - следующая за <tex>w</tex> вершина в <tex>P_1</tex>, принадлежащая также <tex>P_2</tex>, то сегменты (части) цепей <tex>P_1</tex> и <tex>P_2</tex>, находящиеся между вершинами <tex>w</tex> и <tex>w'</tex>, образуют простой цикл в графе <tex>G</tex>. Поэтому если <tex>G</tex> - ациклический граф==* [[Алгоритмы на деревьях|Алгоритмы на деревьях]]* [[Дерево поиска, то между любыми двумя его вершинами существует самое большое одна цепь.наивная реализация|Двоичное дерево поиска]]

2) <tex> \to </tex> 3) Ясно, что граф <tex>G</tex> - связный. Соотношение <tex>p = q + 1</tex> докажем по индукции. Утверждение очевидно для связных графов с одной и двумя вершинами. Предположим, что оно верно для графов, имеющих меньше <tex>p</tex> вершин. Если же граф <tex>G</tex> имеет <tex>p</tex> вершин, то удаление из него любого ребра делает его несвязным, в силу единственности простых цепей; более того, получаемый граф будет иметь в точности две компоненты. По предположению индукции в каждой компоненте число вершин на единицу больше числа ребер. Таким образом, общее число ребер в графе <tex>G</tex> должно равняться <tex>p-1</tex>.3) <tex> \to </tex> 4) Предположим, что в графе <tex>G</tex> есть простой цикл длины <tex>n</tex>. Этот цикл содержит <tex>n</tex> вершин и <tex>n</tex> ребер, а для любой из <tex>p - n</tex> вершин, не принадлежащих циклу,существует инцидентное ей ребро, которое лежит на геодезической , идущей от некоторой вершины цикла. Все такие ребра попарно различны; отсюда <tex>q \ge p</tex>, т. е. пришли к противоречию.}}=Источники информации==

* Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. [[Категория: Алгоритмы и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.структуры данных]][[Категория: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6Основные определения теории графов]]