Изменения

Согласно определению математического ожидания, <tex>E(\xi \cdot \eta) = \sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)</tex>. Как было доказано выше, <tex>\sum\limits_{\omega} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)</tex>. Поэтому <tex>\sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)=\sum\limits_a a\sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b)</tex>. Поскольку <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые величины, <tex>p(\xi = a,\eta = b) = p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)</tex>. Тогда получаем, что <tex>\sum\limits_a a\sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b)=\sum\limits_a a\sum\limits_b b \cdot p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)=\sum\limits_a a\cdot p(\xi = a)\sum\limits_b b \cdot p(\eta = b)=E(\xi) \cdot E(\eta)</tex>.