Изменения
Нет описания правки
<tex>\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}(\xi^2)-(\operatorname{E}(\xi))^2= \dfrac{2-p}{p^{2}}-\dfrac{1}{p^2}=\dfrac{1-p}{p^2}</tex>
== Еще примеры = Пример задачи на нахождение производящей функции ===
{{Задача
| about =
}}
=== Решение ===
<tex>(a)</tex> Заметим, что для того, чтобы закончить путь в <tex>0 </tex> необходимо совершить равное число шагов вправо и влево. Тогда задача сводится к тому, чтобы выбрать <tex>\dfrac{n}{2}</tex> позиций для, например, шагов вправо из всего <tex>n</tex> шагов. Тогда ответом будет сумма от нуля до бесконечности по <tex>n</tex> всех <tex>C^{n}_{2n}</tex>. То есть,<center>:
<tex>
g(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} C^{n}_{2n}x^n
</tex>
<tex>
g(x) = (n+1)f(x) = xf'(x) + f(x)
</tex>
Мы знаем, что производящая функция для чисел Каталана равна <tex>f(x) = \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}</tex>. Найдем <tex>f'(x)</tex>.
<tex>
f'(x) = \dfrac{\dfrac{4x}{\sqrt{1-4x}} - 2 + 2\sqrt{1-4x}}{4x^2} = \dfrac{1 - 2x - \sqrt{1-4x}}{2x^2 \sqrt{1-4x}}
</tex>
Соответственно, ответом будет производящая функция вида:
<tex>
g(x) = \dfrac{1 - 2x - \sqrt{1-4x}}{2x \sqrt{1-4x}} + \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
</tex>
(б) Заметим, что задача аналогична [[Правильные скобочные последовательности | Правильной скобочной последовательности]]. Тогда производящей функцией для нашей задачи будет производящая функция для ПСПправильной скобочной последовательности, а именно:
<tex>
g(x) = \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
</tex>
== Приложения ==
