|proof= Для доказательства теоремы осталось заменить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы <tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.</tex>}}
====Пример произведения Адамара рациональных производящих функций с использованием теоремы о рациональности их произведения====
В целом, Произведение Адамара двух рациональных производящих функций тоже рационально. Заметим это из того, что коэффициенты рациональной производящей функции образуют квазимногочлен вида
<tex>f_n = p_1(n) p_1^n+\dots+p_l(n) p_l^n</tex>,
Где обратные корни, <tex>p_i \in \mathbb{C}</tex>, являются константами и где <tex>p_i(n)</tex> это многочлен от <tex>n</tex> для всех <tex>1 \leqslant i \leqslant l</tex>. Для примера произведение Адамара двух производящих функций:
<tex>F(z) = \dfrac{1}{1 + a_1 z + a_2 z^2}</tex>
и
<tex>G(z) = \dfrac{1}{1 + b_1 z + b_2 z^2}</tex>
Задаются формулами рациональных производящих функций, тогда их произведением Адамара, тоже будет рациональная производящая функция
<tex>(F \circ G)(z) = \dfrac{1 - a_2 b_2 z^2}{1 - a_1 b_1 z + (a_2 b_1^2 + a_1^2 b_2 - a_2 b_2) z^2 - a_1 a_2 b_1 b_2 z^3 + a_2^2 b_2^2 z^4}</tex>
== См. также ==
