<tex> \Rightarrow </tex>
Докажем, что остовное дерево <tex> A </tex>, состоящее из ребер наименьшего веса на циклах, {{---}} минимально.
Предположим противное: в дереве Рассмотрим остовное дерево <tex> A </tex> , включающее не все минимальные ребра на циклах. Тогда, найдется цикл в графе <tex> G </tex>, в котором есть ребро <tex> (u, v) \notin A</tex>, которое легче остальных ребер этого цикла, включая ребро <tex> (a, b) \in A</tex>. Следовательно, можно получить остов с меньшим весом, удалив ребро <tex> (a, b) </tex>, и, добавив <tex> (u, v) </tex>. То же самое проделать для каждого цикла, в котором есть пара таких ребер. Если же нужных пар больше нет, то вес остова уже минимален. Поэтому, и дерево содержащее ребра не состоит из ребер наименьшего веса на циклах не минимально {{---}} противоречие.
<tex> \Leftarrow </tex>
