Изменения
Нет описания правки
# Доказать, что следующие четыре утверждения для связного графа $G$ эквивалентны: (1) любое ребро является мостом (2) $G$ является деревом (3) любой блок $G$ является $K_2$ (4) любое непустое пересечение связных подграфов $G$ связно.
# Доказать, что следующие четыре утверждения для связного графа $G$ эквивалентны: (1) $G$ содержит ровно один простой цикл (2) число вершин и ребер $G$ совпадает (3) $G$ можно превратить в дерево удалением ровно одного ребра (4) множество ребер $G$, которые не являются мостами, образуют один простой цикл.
# Обозначим как $\lambda(G)$ минимальное число ребер, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность, $\kappa(G)$ - минимальное число вершин, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность (для полного графа полагаем $\kappa(G)=n-1$). Докажите, что $\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$.
# Докажите. что для любых $1 \le \kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$ существует граф $G$ с такими параметрами.
# Докажите, что не существует графов с $\kappa(G) = 3$ и 7 ребрами.
# Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
# Пусть $G$ - полный двудольный граф, за исключением $K_{2,2}$. Докажите $\lambda(G)=\delta(G)$, почем единственный способ удалить $\lambda(G)$ ребер, чтобы граф потерял связность - удалить все ребра, инцидентные одной из вершин.
# Докажите, что если в связном графе любой блок эйлеров, то и весь граф эйлеров.
# Граф называется произвольно вычерчиваемым из вершины $u$, если следующая процедура всегда приводит к эйлеровому циклу: начиная с вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, по которому ранее не проходили. Докажите, что эйлеров граф является произвольно вычерчиваемым из $u$, если любой его простой цикл содержит $u$.
# Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то $u$ имеет максимальную степень в $G$.
# Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то либо $u$ - единственная точка сочленения в $G$, либо в $G$ нет точек сочленения.
# Доказать или опровегнуть, что если $G$ содержит порожденный тета-подграф (две вершины, соединенные тремя путями), то $G$ не гамильтонов.
# Обозначим как $G^3$ граф, в котором две вершины соединены, если они соединены в $G$ путем длины не более 3. Докажите, что если $G$ связен, то $G^3$ гамильтонов.
# Граф называется произвольно гамильтоновым, если следующая процедура всегда приводит к гамильтонову циклу: начиная с произвольной вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, другой конец которого мы ранее не посещали, либо обратно в вершину $u$. Опишите все произвольно гамильтоновы графы.
# Теорема "Антихватала". Докажите, что если не выполнено условие теоремы Хватала, то найдется граф с такой степенной последовательностью, не содержащий гамильтонова цикла.
# Докажите, что если сумма степеней любых двух несмежных вершин графа $G$ не меньше $n+1$, то любые две различные вершины $G$ можно соединить гамильтоновым путем.
# Докажите, что для любого $k$ существует негамильтонов граф с $\kappa(G)=k$.гамильтоновым путем.
# Обозначим как $G^2$ граф, в котором две вершины соединены, если они соединены в $G$ путем длины не более 2. Докажите, что если $G$ вершинно двусвязен, то $G^2$ гамильтонов.
</wikitex>
