Изменения

В математике == Главное ==# '''Внимательно читайте свои конспекты перед тем, как совершать попытку их сдачи. Еще лучше читать конспекты друг друга перед отправкой на проверку, так как это позволит значительно уменьшить количество итераций сдачи конспекта.'''убывающим факториалом# ''' (англПеред отправкой на проверку перечитайте эти требования. falling factorial) (иногда называется '''нисходящим факториалом# '''В конспекте не должно быть недочетов, связанных с требованиями.'''постепенно убывающим факториалом# ''' Не забудьте после того как конспект примут, или когда он будет в состоянии, близком к готовому, добавить его в список конспектов по соответствующей теме, иначе он потеряется, и его никто никогда не прочитает.'''нижним факториалом''') обозначают:

:<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=xОбщение с редакторами ==# Желательно зарегистрироваться на сайте вики-конспектов и написать в информации о себе имя, фамилию и группу.# Не забывайте сообщать редакторам о том, что конспект нужно проверить.# При общении с редактором, представляйтесь и давайте ссылку на конспект, который вы пишете (xв каждой итерации общения, чтобы не приходилось искать в истории переписки ссылку). При использовании электронной почты в теме письма указывайте “'''Вики-1)(xконспекты''': Название вики-2)\cdots(xконспекта”. Отсутствие словосочетания "'''Вики-n+1)=\prod_конспекты'''" может сказаться на времени проверки конспекта.# Ставить замечания к конспекту может не только ваш куратор конспекта, в том числе и после принятия конспекта. Их тоже надо учитывать.# Не помечайте замечания, эти метки {k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_{k=0-}^{n-1}(x-k)</tex>для кураторов конспектов.

'''Растущий факториал''' == Викификация ==# Смотрите в качестве примера на конспекты, которые отмечены как хорошие.# В конспекте не должно быть орфографических, пунктуационных, речевых, фактических, логических и других ошибок. Используйте spell checker.# Используйте вики-шаблоны [[Шаблон: Определение]], [[Шаблон: Теорема]], [[Шаблон: Лемма]], [[Шаблон: Утверждение]], [[Шаблон: Задача]] (rising factorial[[Справка по шаблонам]]) (иногда называется '''функцией Похгаммера'''.# Если ваш конспект написан про какое-то конкретное понятие или теорему, не надо делать отдельный пункт "Формулировка":{||[[Файл:Statement-bad.png|400px|thumb|плохо]]|[[Файл:Statement-good.png|400px|thumb|хорошо]]|}# Приводите английские названия терминов, теорем, '''многочленом Похгаммера'''имен алгоритмов и т.д. Их лучше писать в скобках курсивом после их русских названий.# Вместо черточки “-” используйте тире “{{---}}”. Для этого можно использовать [[Шаблон:---]]. Про правила использования читать [http://www.artlebedev.ru/kovodstvo/sections/97/ здесь]# Редактировать можно не только свои конспекты — используйте “концепцию вики”# Не используйте тег <nowiki> <br> </nowiki>. Для перевода строки в вики надо вставлять пустую строку. Видимо, '''восходящим факториалом'''единственное место, '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом'''где можно использовать его — внутри шаблонов — там переводы строки почему-то не работают.# Ставьте категорию <nowiki>[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]</nowiki> и подкатегорию с названием подтемы (например, <nowiki>[[Категория: Динамическое программирование]]</nowiki>) определяется следующей формулой. Список подкатегорий [[:Категория:Дискретная математика и алгоритмы | тут]].# Оформляйте ссылки на источники [http://ru.wikipedia.org/wiki/Википедия:Ссылки_на_источники правильно]. Пример хорошего оформления {{---}} конспекты [[Алгоритм Укконена]] и [[Правило Лаулера]].# Не используйте сокращения.

:<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)Картинки =\prod_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)# Картинки, где только возможно, надо делать в векторе. Для этого можно пользоваться Microsoft Visio, Inkscape, Graphviz, Metapost и им подобными. </tex>

При ''n=0'' значение принимается равным 1 = Источники информации==# Используйте ссылки на другие конспекты.# В конспекте должны быть указаны источники или литература. Причем указывать ссылки не просто на википедию, а на конкретную статью (пустое произведениекак [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C Википедия {{---}} Экспоненциальная запись], на английскую {{---}} как [http://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_notation Wikipedia {{---}} Scientific notation]). Для книг достаточно указать автора, название, издание и номер страницы.# Нарушения авторского права недопустимы.

##* [http://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula Список математических символов из википедии]#* [ftp://ftp.ams.org/pub/tex/doc/amsmath/short-math-guide.pdf Гайд по модулю amsmath, в котором так же можно узнать что-нибудь полезное]#* [http://detexify.kirelabs.org/classify.html Онлайн распознавалка, которая по нарисованному от руки символу дает его tex-код]# '''Использование тега <nowiki><tex></nowiki> вместо <nowiki><math></nowiki> обязательно. Везде.'''# '''По согласованию с куратором''': если лень постоянно писать <nowiki> <tex> </tex> </nowiki> , можно обернуть всю статью в <nowiki> <wikitex> </wikitex> </nowiki>, а потом обособлять формулы в $ $(например, <nowiki> <wikitex> Для любого $ \alpha $ верно $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ </wikitex> </nowiki>), но ''лучше'' так не делать. В этой статье частности, проблемы возникают если внутри тега wikitex находится несколько заголовков — ломается их редактирование по отдельности.# Формулы с дробями можно увеличивать для повышения читаемости, если кажется, что они рендерятся слишком мелко, но не надо злоупотреблять. Для этого используйте параметр dpi в теге tex. Пример: <nowiki> <texdpi = "180">\frac {\omega_n(x)} {(x- x_j) \cdot \omega_n'(x_j)_n}</tex> означает убывающий факториал и </nowiki># В качестве знака умножения нужно использовать <code>\times</code> или <code>\cdot</code>, а не звездочку. Сравните: <tex>(x)^n2 * 2 = 2 \times 2 = 2 \cdot 2 = 4</tex> - растущий факториал. Такое же обозначение используется в комбинаторике# Не опускайте знаки умножения, конъюнкции, скобки и т.п., если это может привести к неоднозначности.

Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу инъективных отображений из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P== Псевдокод ==(xправила,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>x<отсюда [[Участник: Kirelagin/tex> - переменная, то есть <tex>(xОформление#Псевдокод]])_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.

==Примеры==# Используйте максимально компактный и читаемый псевдокод.Несколько первых растущих факториалов::<tex>x^{# Не ставьте фигурные скобки. Угадайте, для чего они нужны? Чтобы парсер языка было легче писать. Человеку они только мешают. Используйте отступы для группировки. (0Python-style)}=x^{\overline0}=1 </tex>:<tex>x^{(1)}# Не ставьте круглые скобки вокруг внешнего условия if'а, while'а и т.п.# Обозначайте присвоение ''нормально'', с помощью знака «=x^{\overline1}», а сравнение как «=x </tex>:<tex>x^{(2)}=x^{\overline2}=x» (x+1всё равно придётся слезать с паскаля)=x^2+x </tex>.# Не вводите какие-то левые операторы. Например, если кладёте что-то в очередь, так и напишите:<tex>x^{q.push(3a)}=x^{\overline3}=x.# TeX в псевдокоде можно использовать только в случае какого-то нестандартного оператора(x+1а перед этим хорошо подумать и посмотреть предыдущий пункт)(x+2)=x^3+3x^2+2x </tex># Не надо описывать ввод данных и вывод данных. Оформляйте псевдокод как функцию, принимающую входные данные и возвращающую результат.# Обычные правила хорошего кода:<tex>x^{(4)}=x^{\overline4}=x#* Ставим пробелы между операндами и бинарными операторами(x«1 +1)(x2», а не «1+22»)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x </tex>. После унарных операторов перед операндом пробел ставить не нужно.Несколько первых убывающих факториалов::<tex>#* Не ставим пробел перед скобкой - вызовом функции(x)_{0}=x^{\underline0}=1 </tex>:<tex>«f(x)_{1}=x^{\underline1}=x </tex>:<tex>», а не «f (x)_{2}=x^{\underline2}=x(x-1»)=x^2-x </tex>:<tex>(x)_{3}=x^{\underline3}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x </tex>#* Пробел после запятой, разделяющей аргументы функции:<tex>(x)_{4}=x^{\underline4}=x(x#* Используем какой-1)(x-2)то определённый стиль именования переменных(x-3я бы рекомендовал lowerCamelCase для переменных и функций и UpperCamelCase для классов)=x^4-6x^3+11x^2-6x </tex>Коэффициенты в выражениях являются числами Стирлинга первого рода.

==Свойстватеорема Вагнера ==Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:

:<tex>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex> Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для падающих и растущих факториалов. Растущий факториал может быть выражен как падающий факториал, начинающийся с другого конца, :<tex>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</tex> или как убывающий с противоположным аргументом, :<tex>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex> Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, <tex>x</tex> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.  Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <tex>n</tex>, но с использованием Гаммы функции при условии, что <tex>x</tex> и <tex>x+n</tex> вещественные числа, но не отрицательные целые: :<tex>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)},</tex> то же самое и про убывающий факториал: :<tex>(x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}.</tex> Если <tex>D</tex> означает производную по <tex>x</tex>, то :<tex>D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.</tex>Определение == Связующие коэффициенты и тождества == The falling and rising factorials are related to one another through the [[Lah numbers]] and through sums for integral powers of a variable <math>x</math> involving the [[Stirling numbers of the second kind]] in the following forms where <math>\binom{r}{k} = r^{\underline{k}} / k!</math>:<ref>{{cite web|titledefinition =Introduction to the factorials and binomials|url=http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/|website=Wolfram Functions Site}}</ref> :<texb>\begin{align}x^{\underline{n}} & = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k \\ & = (-1)^n (-x)_n = (x-n+1)_n = \frac{1}{(x+1)^{\overline{-n}}} \\ (x)_n & = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} \\ & = (-1)^n (-x)^{\underline{n}} = (x+n-1)^{\underline{n}} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{-n}}} \\ & = \binom{-x}{n} (-1)^n n! \\ & = \binom{x+n-1}{n} n! \\ x^n & = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} \\ & = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. \end{align} Минор графа</tex> Since the falling factorials are a basis for the [[polynomial ring]], we can re-express the product of two of them as a linear combination of falling factorials: :<texb>(x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}англ.</tex> The coefficients of the (''x'')_{''m''+''n''&minus;''k''}, called '''connection coefficients''', have a combinatorial interpretation as the number of ways to identify (or glue together) {{math|''k''}} elements each from a set of size {{math|''m''}} and a set of size {{math|''nGraph minor''}}.We also have a connection formula for the ratio of two Pochhammer symbols given by :<tex>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq i. </tex> Additionally, we can expand generalized exponent laws and negative rising and falling powers through the following identities: :<tex>x^{\underline{m+n}} & = x^{\underline{m}} (x-m)^{\underline{n}}</tex>:<tex>(x)_{m+n} & = (x)_m (x+m)_n</tex>:<tex>(x)_{-n} & = \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}</tex> :<tex>x^{\underline{-n}} & = \frac{1}{(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}</tex> FinallyG будем называть граф H, [[duplication formula|duplication]] and [[multiplication formulas]] for the rising factorials provide the next relations: :<tex>(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} </tex> :<tex>(ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} </tex> :<tex>(2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. </tex> ==Альтернативные формы записи== Альтернативная форма записи растущего факториала :<tex>x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0,</tex> если H может быть образован из G удалением рёбер и вершин и для убывающего факториала :<tex>x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0;</tex> goes back to A. Capelli (1893) and L. Toscano (1939), respectively.<ref>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.</ref> Graham, Knuth and Patashnik<ref>[[Ronald L. Graham]], [[Donald E. Knuth]] and [[Oren Patashnik]] in their book ''[[Concrete Mathematics]]'' (1988), Addison-Wesley, Reading MA. {{ISBN|0-201-14236-8}}, pp.&nbsp;47,48</ref> propose to pronounce these expressions as "<tex>x</tex> to the <tex>m</tex> rising" and "<tex>x</tex> to the <tex>m</tex> falling", respectivelyстягивания рёбер. Другие формы записи убывающего факториала: <tex>P(x,n)</tex>, <tex>^x P_n</tex>, ,<tex>P_{x,n}</tex> или <tex>_x P_n</tex>. Другое обозначение растущего факториала <tex>x^(n)</tex> реже встречается, чем <tex>(x)^+_n</tex>. Обозначение <tex>(x)^+_n</tex> используется для растущего факториала, запись <tex>(x)^-_n</tex> обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений. ==Обобщения==The Pochhammer symbol has a generalized version called the [[generalized Pochhammer symbol]], used in multivariate [[Mathematical analysis|analysis]]. There is also a [[q-analog|''q''-analogue]], the [[q-Pochhammer symbol|''q''-Pochhammer symbol]]. A generalization of the falling factorial in which a function is evaluated on a descending arithmetic sequence of integers and the values are multiplied is: :<math>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</math> where {{math|&minus;''h''}} is the decrement and {{math|''k''}} is the number of factors. The corresponding generalization of the rising factorial is :<math>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</math> This notation unifies the rising and falling factorials, which are [''x'']^''k''/1 and [''x'']^{''k''/&minus;1}, respectively. For any fixed arithmetic function <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}</math> and symbolic parameters <math>x, t</math>, related generalized factorial products of the form :<math>(x)_{n,f,t} := \prod_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</math> may be studied from the point of view of the classes of generalized [[Stirling numbers of the first kind]] defined by the following coefficients of the powers of <math>x</math> in the expansions of <math>(x)_{n,f,t}</math> and then by the next corresponding triangular recurrence relation: :<math>\begin{align} \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} & = [x^{k-1}] (x)_{n,f,t} \\ & = f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}. \end{align} </math> These coefficients satisfy a number of analogous properties to those for the [[Stirling numbers of the first kind]] as well as recurrence relations and functional equations related to the ''f-harmonic numbers'', <math>F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} t^k / f(k)^r</math>.<ref>''[https://arxiv.org/abs/1611.04708 Combinatorial Identities for Generalized Stirling Numbers Expanding f-Factorial Functions and the f-Harmonic Numbers]'' (2016).</ref> ==Источники материала==* [http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html, Pochhammer Symbol]* [https://www.scribd.com/doc/288367437/A-Compilation-of-Mathematical-Demonstrations, Elementary Proofs] [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория:Символ Похгаммера]]