288
правок
Изменения
Нет описания правки
Если число ''N'' является квадратичным положительным целым числом (является произведением некоторого числа '' n'' различных простых чисел), то ''B<sub>n</sub> дает число различных мультипликативных разбиений ''N''. Это является факторизацией ''N'' в числа большие, чем 1, treating two factorizations as the same if they have the same factors in a different order.<ref>{{harvnb|Williams|1945}} credits this observation to Silvio Minetola's ''Principii di Analisi Combinatoria'' (1909).</ref> Например, 30 является произведением 3 простых чисел 2, 3, and 5, и имеет ''B''<sub>3</sub> = 5 факторизаций:
:<tex>30 = 2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5</tex>
===Схемы рифмовки===
Числа Белла показывают количество схем рифмовки ''n''-строфы. Схема рифмы описывает, какие строки рифмуются друг с другом, и поэтому может быть истолковано как разбиение множества строк в подмножества рифм. Таким образом, 15 возможных четверостиший схемами рифмовки являются: AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, and ABCD.{{sfn|Gardner|1978}}
===Моменты распределения вероятностей===
Числа Белла удовлетворяют [[''формуле Добинского]]''{{sfn|Dobiński|1877}}{{sfn|Rota|1964}}{{sfn|Bender|Williamson|2006}}
:<tex>B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}.</tex>
Эта формула может быть получена за счет расширения экспоненциальной производящей функции, используя ряд Тейлора для экспоненциальной функции, а затем собирая условия с аналогичным показателем экспоненты. {{sfn|Flajolet|Sedgewick|2009}}
<tex> ~d(x):= \ln \ln (x+1) - \ln \ln x + \frac{1+e^{-1}}{\ln x}\,.
</tex>
Числа Белла могут быть аппроксимированы с помощью ''функции Ламберта Вт'', данная функция имеет такой же темп роста, как логарифм, как{{sfnp|Lovász|1993}}
:<tex>B_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{n}{W(n)} \right)^{n + \frac{1}{2}} \exp\left(\frac{n}{W(n)} - n - 1\right). </tex>
