Изменения

{{Числа Белла|neat<tex dpi="130">B_0 =1</tex>, т.к. существует только одно возможное разбиение пустого множества. Пустое множество может разбиваться только на само себя. |definition = В комбинаторной математике числа Белла показывают количество возможных способов разбиения множества из Как было обозначено выше, мы ''n''не рассматриваем ни порядок подмножеств, ни порядок элементов на непустые подмножества. Эти числа изучались математиками с 17-го века. Их корни уходят в средневековую Япониюкаждом их них'''. Названы в честь Эрика Темпла БеллаЭто означает, который описал их в 1930-х годах. что данные разбиения являются идентичными:: <tex> \{ b \}, \{ a , c \}</tex>Числа Белла начинаются с ''B'': <subtex>0\{ a, c\}, \{ b \} </subtex> = ''B'': <subtex>1\{ b \}, \{ c, a \} </subtex> = 1 и образуют последовательность ::1<tex>\{ c, [[1 (number)|1]]a \}, [[2 (number)|2]], [[5 (number)|5]], [[15 (number)|15]], [[52 (number)|52]], [[203 (number)|203]], 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, ... \{{OEIS|id=A000110b \}}.''n''- элемент чисел Белла, ''B<sub>n</subtex>'', показывает количество различных способов разбиения множества, которое имеет не менее ''n'' элементов, т.е. количеству [[отношений эквивалентности]] в нем.Вне математики, похожие числа показывают количество различных схем рифмовки для ''n''-й строфы стихотворения.==Подсчет==

:{ {''a''}, {''b''}, {''c''} }:{ {''a''}, {''b'', ''c''} }:{ {''b''}, {''a''В противном случае, ''c''} }:{ {''c''}если различные упорядочивания множеств считаются различными разбиениями, {'тогда количество таких упорядоченных разбиений называются 'a'', ''b''} }:{ {''a'', ''b'', 'упорядоченными числами Белла'c''} }.

''B''==Факторизации==Если число <subtex dpi="130">0N</subtex> является 1, т.к. существует только одно возможное разбиение пустого множества. Каждый элемент пустого множества является непустым множеством и их объединение является пустым множеством. Таким образом, пустое множество может разбиваться только на само себя. Как было обозначено выше, мы не рассматриваем ни порядок подмножеств, ни порядок элементов в каждом их них. Это означает, что данные разбиения являются идентичными:свободным от квадратов <ref>[[wikipedia:Square-free element|Wikipedia { {''b''---}, {''a'', ''c''} }:{ {''a'', ''c''}, {''b''} }:{ {''b''}, {''c'', ''a''} }:{ {''c'', ''a''}, {''b''} }.В противном случае, если различные упорядочивания множеств считаются различными разбиениями, тогда количество таких упорядоченных разбиений называются упорядоченными числами Белла.===Факторизации===Если число ''N'' является свободным Cвободные от квадратовчисла]]</ref>, то ''B<subtex dpi="130">nB_n</subtex>'' показывает количество различных мультипликативныхразбиений <tex dpi="130">N</tex>.Если число ''<tex dpi="130">N'' </tex> является квадратичным положительным целым числом (является произведением некоторого числа '' <tex dpi="130">n'' </tex> различных простых чисел), то ''B<subtex dpi="130">nB_n</subtex> дает '''число различных мультипликативных разбиений ''' <tex dpi="130">N''</tex>. Это является факторизацией ''<tex dpi="130">N'' </tex> в числа большие, чем <tex>1</tex> (рассматривая две факторизации как идентичные, treating two factorizations as the same if they have the same factors in a different orderесли они имеют одинаковые факторы в другом порядке.) подтверждает это наблюдение Сильвио Минетоле<ref>{{harvnb|Williams|1945}} credits this observation to Silvio Minetola's ''Principii di Analisi Combinatoria'' (1909).</ref> .Например, <tex>30 </tex> является произведением <tex>3 </tex> простых чисел <tex>2</tex>, <tex>3, and&nbsp;</tex> и <tex>5, </tex> и имеет ''B''<subtex dpi="130">3N=5 </subtex> = 5 факторизаций:

1==Схемы рифмовки== 1 2Числа Белла показывают ''количество схем рифмовки на <tex dpi="130">n</tex> строках''. Схема рифмы описывает, какие строки рифмуются друг с другом, и поэтому может быть истолковано как отношение экивалентности на множестве строк. Таким образом, <tex>15</tex> возможных четверостиший схемами рифмовки являются: 2 3 5<tex dpi="130"> AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC,ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, 5 7 10 15 15 20 27 37 52ABCD</tex>.

====Биномиальные коэффициенты====Числа Белла удовлетворяют рекуррентному соотношению c участием биномиальных коэффициентов s::<tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>==== Доказательство ====Докажем, что <tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{sfnk=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}.</tex> По определению <tex dpi = "150">B_{n}\ { — }\ </tex>число всех неупорядоченных подмножеств <tex>n</tex>-элементного множества. Посчитаем количество неупорядоченных подмножеств для <tex dpi= "150">(n+1)</tex>-элементного множества множества: Пусть <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_k\ { — }\ </tex>подмножества множества <tex dpi= "150">[1...n+1]</tex>. Пусть <tex dpi= "150">n+1\in x_k</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_{k-1}\ { — }\ </tex>подмножество множества <tex dpi="150">[1...n+1]</tex> \ <tex dpi= "150">x_k</tex>. Пусть <tex dpi= "150">|Wilfx_k|1994|p=23i+1</tex>, где <tex dpi= "150">i\in [0;n]</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_k</tex> можно выбрать <tex dpi= "150">\binom{n}{i}:</tex> способами, а оставшиеся элементы разбить <tex dpi = "150">B_{n-i}</tex> способами. <texdpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}=</tex> <tex dpi = "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{n-k} B_{k}=</tex> <tex dpi= "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>. ====Связь с числами Стирлинга второго рода====Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму [[Числа Стирлинга второго рода|'''чисел Стирлинга второго рода''']]::<texdpi = "150">B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}.</tex>, Число где число Стирлинга <texdpi = "150">\left\{{n\atop k}\right\}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов ''<tex dpi = "150">n'' </tex> в ровно ''<tex dpi="150">k</tex> непустых подмножеств.==== Доказательство ====Посчитаем количество подмножеств <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества. Нам нужно разбить <tex dpi= "150">n</tex>-элементное множество на <tex dpi= "150">k'' </tex> непустых подмножеств, где <tex dpi= "150">k</tex> от <tex dpi= "150">1</tex> до <tex dpi= "150">n</tex>. Пусть<tex dpi= "150">C\ {— }\ </tex>все подмножества <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества. Пусть <tex dpi= "150">A_k\ {harvtxt— }\ </tex>разбиение <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, тогда <tex dpi = "150"> C = \bigcup \limits_{k=1}^{n}A_k</tex>. <tex dpi = "150">|SpiveyA_k|2008=\left\{{n\atop k}\right\}\ { — } получил формулу\ </tex>по определению, которая объединяет оба эти суммирования::тогда <texdpi = "150">B_B_n=|C|=\sum_{k=1}^{n+m} \ |A_k|= \sum_{k=01}^n \left\{{n\atop k}\right\}=\sum_{jk=0}^m n \left\{{mn\atop jk}\right\} </tex>, т.к. <tex dpi = "150">\left\{{n \choose katop 0} j^{n-k\right\} B_k.=0</tex>.

===Производная =Объединяющая формула====Майкл Спайви<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref> получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования::<tex dpi = "150">B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.</tex>==== Лемма ====<tex dpi = "150">B_{n+m}\ { — }\ </tex>количество способов разбить <tex dpi = "150">(n+m)</tex>-элементное множество на подмножества. Количество способов разбить <tex dpi = "150">m</tex>-элементное множество на <tex dpi = "150">j</tex> непустых подмножеств это <tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}</tex>, где <tex dpi = "150">j</tex> меняется от <tex dpi = "150">1</tex> до <tex dpi = "150">m</tex>. Из оставшихся <tex dpi = "150">n</tex> объектов выберем <tex dpi = "150">k</tex>, для разделения их на новые подмножества, а оставшиеся <tex dpi = "150">n-k</tex> объектов распределим между <tex dpi = "150">j</tex> подмножествами, сформированных из <tex dpi = "150">m</tex>-элементного множества. <tex dpi = "150">B_{k}\ { — }\ </tex>количество разбиений <tex dpi = "150">k</tex>-элементного множества на подмножества и <tex dpi = "150">j^{n-k}</tex> способов разбить <tex dpi = "150">n-k</tex> элементов между <tex dpi = "150">j</tex> подмножествами. Значит <tex dpi = "150">j^{n-k} \left\{{n\atop k}\right\}\binom{n}{k} B_{k}</tex> способов разбить <tex dpi = "150">m</tex> элементов на <tex dpi = "150">j</tex> подмножеств и выбрать <tex dpi = "150">k</tex> элементов из <tex dpi = "150">n</tex>-элементного множества и выбрать <tex dpi = "150">k</tex> элементов из <tex dpi = "150">n </tex>-элементного множества и сформировать из них новые подмножества, а из оставшихся <tex dpi = "150">n-k</tex> объектов разделить между <tex dpi = "150">j</tex> множествами, сформированных из <tex dpi = "150">m</tex>-элементного множества. ==== Доказательство ====Суммируя подмножества, рассмотренные в лемме, меняя <tex dpi = "150">m</tex> и <tex dpi = "150">k</tex>, получаем:<tex dpi = "150">B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=1}^m </tex><tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}=</tex><tex dpi = "150">B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m </tex><tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}</tex> т.к. <tex dpi = "150">\left\{{m\atop 0}\right\}=0</tex>. ===Производящая функция===Экспоненциальной [[производящая функция|производящей функцией числе ]] чисел Белла является::<texdpi = "150">B(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</tex>

Числа Белла удовлетворяют '''формуле Добинского''{{sfn|Dobiński|1877}}{{sfn|Rota|1964}}{{sfn|Bender|Williamson|2006}}'::<texdpi = "150">B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}.</tex>Эта формула может быть получена за счет расширения экспоненциальной производящей функции, используя ряд Тейлора <ref>[[wikipedia:Taylor series|Ряд Тейлора]]</ref> для экспоненциальной функции, а затем собирая условия с аналогичным показателем экспоненты. {{sfn|<ref>Flajolet|& Sedgewick|(2009}})</ref>.Это позволяет интерпретировать ''B_n'' как ''<tex dpi="130">n''</tex>-й момент Пуассоновского распределения с ожидаемым значением <tex>1</tex>.

Применение интегральной формулы Коши <ref>[[wikipedia:Cauchy's integral formula|Формула Коши]]</ref> для экспоненциальной производящей функции дает комплексное интегральное представление:: <texdpi = "150"> B_n = \frac{n!}{2 \pi i e} \int_{\gamma} \frac{e^{e^z}}{z^{n+1}} \, dz. </tex> ===Log-concavityЛогарифмическая вогнутость===Числа Белла формируют логарифмически выпуклую последовательность. Деление их на факториал, ''B'' <subtex dpi = "170">''\frac{B_n}{n''!}</subtex>/''n''!, дает логарифмически выпуклую последовательность.sequence.{{sfn|Engel|1994}}{{sfn|Canfield|1995}}{{sfn|Asai|Kubo|Kuo|2000}}

Известно несколько асимптотических формул для чисел Белла. В {{harvtxt|'''Беренд Тасса''' в <tex>2010</tex>-м<ref>Berend|, D.; Tassa|, T. (2010}} были установлены ). "Improved bounds on Bell numbers and on moments of sums of random variables". Probability and Mathematical Statistics. 30 (2): 185–205.</ref> установлил следующие границы::<texdpi = "150"> B_n < \left( \frac{0.792 n}{\ln( n+1)} \right)^n </tex> для всех положительных чисел <tex>n</tex>;

:<texdpi = "150"> B_n < \left( \frac{e^{-0.6 + \varepsilon} n}{\ln(n+1)}\right)^n </tex>

<texdpi = "150"> ~d(x):= \ln \ln (x+1) - \ln \ln x + \frac{1+e^{-1}}{\ln x}\,.

Числа Белла могут быть аппроксимированы с помощью ''функции Ламберта Вт''<tex>W</tex> <ref> [[wikipedia:Lambert W function|Функция Ламберта W]]</ref>, данная функция имеет такой же темп роста, как логарифм, как{{sfnp|Lovász|1993}}:<texdpi = "150">B_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{n}{W(n)} \right)^{n + \frac{1}{2}} \exp\left(\frac{n}{W(n)} - n - 1\right). </tex>

{{harvtxt|'''Мозер Л. и Вайман М.'''<ref>Moser|, Leo; Wyman|, Max (1955}} установил ). "An asymptotic formula for the Bell numbers". Transactions of the Royal Society of Canada, Section III. </ref> установили расширение::<texdpi = "150">B_{n+h} = \frac{(n+h)!}{W(n)^{n+h}} \times \frac{\exp(e^{W(n)} - 1)}{(2\pi B)^{1/2}} \times \left( 1 + \frac{P_0 + hP_1 + h^2P_2}{e^{W(n)}} + \frac{Q_0 + hQ_1 + h^2Q_2 + h^3Q_3 + h^4Q_4}{e^{2W(n)}} + O(e^{-3W(n)}) \right)</tex>

:<texdpi = "150">\begin{align} \frac{\ln B_n}{n} & = \ln n - \ln \ln n - 1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n} + \frac{1}{\ln n} + \frac{1}{2}\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)^2 + O\left(\frac{\ln \ln n}{(\ln n)^2} \right) \\& {} \qquad \text{as }n\to\infty\end{align}

Было установлено де Брайном в 1981 году==Источники информации==*[https://cseweb.ucsd.edu/~gill/BWLectSite/Resources/C1U4SF.pdf Bender Edward A.Williamson, S. Gill, Set Partitions, 319–320, 2006]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number Wikipedia {{---}}Bell numbers]*Nobuhiro Izumi Hui-Hsiung "Acta Applicandae Texematicae",79–87.Bell numbers, log-concavity, and log-convexity 2000*Aitken A. C. Edinburgh Texematical Notes,18–23 A problem in combinations 1933*H. W.BeckerJohn Riordan "The arithmetic of Bell and Stirling numbers" American Journal of Texematics,1948,385–394*E. T.Bell Exponential polynomials,Annals of Texematics,1934, 258–277*E. T.Bell The iterated exponential integers,Annals of Texematics,1938,539–557[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Комбинаторика]]