Изменения
→Темпы роста
Известно несколько асимптотических формул для чисел Белла.
'''Беренд Тасса''' в 2010-м установлил следующие границы:
:<texdpi = "150"> B_n < \left( \frac{0.792 n}{\ln( n+1)} \right)^n </tex> для всех положительных чисел <tex>n</tex>;
кроме того, если <tex> \varepsilon>0 </tex> затем для всех <tex> n > n_0(\varepsilon) </tex>,
:<texdpi = "150"> B_n < \left( \frac{e^{-0.6 + \varepsilon} n}{\ln(n+1)}\right)^n </tex>
где <tex> ~n_0(\varepsilon) = \max\left\{e^4,d^{-1}(\varepsilon) \right\}~ </tex> и
<texdpi = "150"> ~d(x):= \ln \ln (x+1) - \ln \ln x + \frac{1+e^{-1}}{\ln x}\,.
</tex>
Числа Белла могут быть аппроксимированы с помощью [[wikipedia:Lambert W function|'''функции Ламберта Вт''']], данная функция имеет такой же темп роста, как логарифм, как
:<texdpi = "150">B_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{n}{W(n)} \right)^{n + \frac{1}{2}} \exp\left(\frac{n}{W(n)} - n - 1\right). </tex>
'''Moser Wyman''' установил расширение:
:<mathtex dpi = "150">B_{n+h} = \frac{(n+h)!}{W(n)^{n+h}} \times \frac{\exp(e^{W(n)} - 1)}{(2\pi B)^{1/2}} \times \left( 1 + \frac{P_0 + hP_1 + h^2P_2}{e^{W(n)}} + \frac{Q_0 + hQ_1 + h^2Q_2 + h^3Q_3 + h^4Q_4}{e^{2W(n)}} + O(e^{-3W(n)}) \right)</mathtex>
Асимптотическое выражение
:<texdpi = "150">
$$ \frac{\ln B_n}{n} = \ln n - \ln \ln n - 1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n} + \frac{1}{\ln n} + \frac{1}{2}\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)^2 + O\left(\frac{\ln \ln n}{(\ln n)^2} \right) $$
\newline {} \qquad \text{as }n\to\infty
