Изменения

Докажем методом от противного, что <tex> n </tex> {{---}} четно. Пусть <tex> n </tex> является нечетным, тогда из рассуждений выше существует вершина <tex> v_x </tex>, для которое верно, что <tex> deg(v_x) \leqslant \genfrac{}{}{}{0}{n-1}{2} </tex>. Пусть это не так, тогда <tex> \forall i, 1 \leqslant i \leqslant n : deg(iv_i) \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n-1}{2} + 1 = \genfrac{}{}{}{0}{n+1}{2} </tex>, значит <tex> \forall j, 1 \leqslant j \leqslant n : deg(v_j) + deg(v_{j+1}) \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n+1}{2} + \genfrac{}{}{}{0}{n+1}{2} = n + 1 </tex>, то есть мы получили противоречие с тем, что <tex> deg(v_j) + deg(v_{j + 1}) \leqslant n </tex>.Без потери общности пусть <tex> v_x = v_n </tex> Рассмотрим <tex> 2|E| = \sum\limits_{i=1}^n deg(v_i) = \sum\limits_{i=1}^{(n - 1)/2} (deg(v_{2i-1}) + deg(v_{2i})) + deg(v_n) \leqslant \genfrac{}{}{}{0}{n(n-1)}{2} + </tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{n-1}{2} < </tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{2} </tex>, то есть <tex> |E| < \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex>, но по условию <tex> |E| \geqslant n^2/4 </tex> {{---}} получили противоречие. Таким образом <tex> n </tex> является четным. Тогда верно, что <tex> 2|E| \leqslant \sum\limits_{i=1}^n deg(v_i) = \sum\limits_{i=1}^{n/2} (deg(v_{2i-1}) + deg(v_{2i})) \leqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{2} </tex>, а так как по условию <tex> |E| \geqslant n^2/4 </tex>, то <tex> |E| = \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{4} </tex>. Данное равенство достигается, если верно, что:

*<tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + 2 \leqslant k \leqslant l - 1}, v_{j + l }, v_{j - 2 1}) </tex> : <tex>(v_j, v_k) \in E </tex> и <tex>(v_{j+1}, v_{k-l+13}) \notin E </tex>

*<tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + 2}, v_{j + 3}, v_{j + l - 2}) </tex>: <tex>(v_j, v_k) \in E </tex> и <tex>(v_{j+1}, v_{k-l+1}) \notin E </tex> Пусть <tex> G </tex> не <tex> K_{n/2, n/2} </tex>, тогда существует такое четное число <tex> k </tex>, что в графе <tex> G </tex> существует ребро <tex> (v_j, v_{j+k}) </tex>, т.е. существует цикл нечетной длины. Докажем, что в таком случае существует ребро <tex> (v_j, v_{j+2}) \in E </tex>. Пусть это не так и минимальное четное <tex> k </tex>, что <tex> \exists (v_j, v_{j+k}) \in E </tex> больше двух, т.е. <tex> k \geqslant 4 </tex>. Тогда существует три случая:

# <tex> k < n/2 </tex>. Пусть существует <tex> x </tex> вершин, так что их степени равны <tex> k </tex>, тогда они все должна быть связаны, так как иначе мы получим противоречие с утверждением теоремы <tex> \forall (u, v) \notin E : deg(u) + deg(v) \geqslant n </tex>. Понятно, что <tex> x \leqslant k + 1 </tex>, но так как граф является гамильтоновым, то он связен, а значит <tex> x < k + 1 </tex>. А также есть Несложно заметить, что если из всех <tex> x </tex> вершин степени <tex> k </tex> провести оставшиеся ребра в одну вершину, у которой степень больше, то в графе остенется как минимум <tex> n - k - 1 </tex> степени которых как минимум <tex> n - k </tex>, так как они не имеют ребер с вершинами степени <tex> k </tex>, а значит должно выполняться условие из теоермы Оре. Тогда можно оценить количество ребер. <br> <tex> m \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}((n-k-1)(n-k)+k^2+(k+1)) = \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}(n^2 - n(2k + 1) + 2k^2 + 2k + 1) \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2+1}{4} </tex>