18
правок
Изменения
м
Среди Если <tex>G</tex> {{---}} <tex>(r - 1)</tex>-дольных графов дольный граф с максимальным количеством ребер, то <tex>G = T^{r-1}(n)</tex> имеет максимальное количество ребер.
Нет описания правки
==Теорема Турана==
[[Файл:Turan example.png|200px|thumb|right|Пример графа Турана при <tex>n = 8, r = 4</tex>]]
'''Теорема Ту́рана''' (англ. ''Turán's theorem'') {{---}} классическая теорема экстремальной теории графов. Она послужила образцом для большого количества подобных теорем, которые изучают некоторые глобальные параметры, такие как [[Раскраска графа| хроматическое число]], относительно присутствия тех или иных подструктур.
Впервые задачу сформулировал Пал Туран в 1941 году.
{{Лемма
|statement=
|proof=
Докажем от противного. Пусть есть существует максимальный <tex>(r - 1)</tex>-дольный графс максимальным числом ребер, который не явлется графом Турана.Обозначим его <tex>G_m</tex>.Очевидно, что <tex>G_m</tex> является полным <tex>(r - 1)</tex>-дольным.Так как <tex>G_m \ne T^{r-1}(n) </tex>, то в котором есть две <tex>G_m</tex> существуют доли <tex>V_1</tex> и <tex>V_2</tex>, такие что <tex>|V_1| - |V_2| > 1</tex>. Но тогда перекинув мы можем перекинуть одну вершину из <tex>V_1</tex> в <tex>V_2</tex>, и количество ребер увеличится. ПротиворечиеЭто противоречит предположению, что граф <tex>G_m</tex> максимален по числу ребер.
}}
{{Теорема
'''Шаг индукции:'''
Пусть теперь <tex>n \ge geqslant r</tex>.Поскольку <tex>G</tex> реберно-максимален и не содержит подграфа <tex>K^r</tex>, то <tex>G</tex> содержит подграф <tex>K^{r-1}</tex>. Обозначим любой из них как <tex>K</tex>. Тогда по индукционному предположению <tex>G - K</tex> имеет не более <tex>t_{r-1}(n - r + 1)</tex> ребер, а любая вершина <tex>G - K</tex> имеет не более <tex>r - 2</tex> соседей в <tex>K.</tex> Следовательно мы можем оценить количество ребер в <tex>G</tex>:
<tex>|E(G)| \leqslant \underbrace{t_{r-1}(n + r - 1)}_{G-K} + \underbrace{(n - r + 1)(r - 2)}_{(G-K) \rightleftarrows (K)} + \underbrace{{r-1 \choose 2}}_{K} = t_{r-1}(n); (1)</tex>
Равенство справа следует непосредственно из графа Турана <tex>T^{r-1}(n)</tex>.
Поскольку <tex>G</tex> экстремален для <tex>K^r</tex>, то в <tex>(1)</tex> имеет место равенство. Таким образом, любая вершина из <tex>G - K</tex> имеет ровно <tex>r - 2</tex> соседа в <tex>K</tex> {{---}} точно так же, как и вершины <tex>x_1,\cdots, x_{r-1}</tex> из самого <tex>K</tex>.
При <tex>i = 1,\cdots, r-1</tex> пусть <tex>V_i := \{v \in V(G) \mid vx_i \not\in E(G)\}</tex> есть множество всех вершин <tex>G</tex>, чьи <tex>r - 2</tex> соседей в <tex>K</tex> отличны от <tex>x_i</tex>.
Так как каждая вершина <tex>G - K</tex> имеет ровно <tex>r - 2</tex> соседа в <tex>K</tex>, то все <tex>V_i</tex> не зависимы. При этом они в объединении дают <tex>V(G)</tex> поскольку <tex>K^r \nsubseteq G</tex>. Следовательно, граф <tex>G</tex> является <tex>(r-1)</tex>-дольным.
Так как по Лемме <tex>T^{r-1}(n)</tex> {{---}} единственный <tex>(r-1)</tex>-дольный граф с <tex>n</tex> вершинами и максимальными числом ребер, наше утверждение, что <tex>G = T^{r-1}(n)</tex>, следует из предположения об экстремальности <tex>G</tex>.
}}
==См. также==
*[[Раскраска графа]]
==Источники информации==
''Дистель, Рейнград.'' Теория графов: Пер. с англ. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. — 166-170 стр. — ISBN 5-86134-101-X.
