Изменения
Нет описания правки
{{
Теорема|statement=
Любая [[Определение булевой функции | булева функция]] от <tex>n</tex> аргументов <tex>f(x_1, x_2, ...\ldots, x_n)</tex> в базисе <tex>B = \{\neg, \lor, \land\}</tex> имеет [[Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов#Схемная сложность | схемную сложность]] <tex>size_B (f) = O\left(\dfrac{2^n}{n}\right)</tex>.
}}
== Разделение на полосы ==
Разделим таблицу на '''''горизонтальные полосы''''' шириной <tex>s</tex> (последняя полоса, возможно, будет короче остальных; её ширину обозначим <tex>s'</tex>). Пронумеруем полосы сверху вниз от <tex>1 </tex> до <tex dpi="145">p=\left\lceil\dfrac{2^k}{s}\right\rceil</tex>.
Рассмотрим независимо некоторую полосу. Заметим, что среди её столбцов при небольшом <tex>s</tex> будет много повторений; далее про одинаковые столбцы, находящиеся в одной полосе, будем говорить, что они одного '''''сорта'''''.
Пусть для некоторого <tex>i</tex>
* <tex>\beta_{j}</tex> {{---}} произвольный столбец <tex>i</tex>-й полосы <tex>j</tex>-го сорта (точное положение столбца далее не будет иметь значения, по определению сорта)
* <tex>(\sigma_1^l, \sigma_2^l, ...\ldots, \sigma_k^l)</tex> {{---}} аргументы функции, соответствующие <tex>l</tex>-й строке <tex>i</tex>-й полосы.
Тогда введём булеву функцию
<tex>g_{ij}(x_1, x_2, ...\ldots, x_k) = \begin{cases} \beta_{jl}, \mbox{ if } \exists l \in [1; s]~(x_1, x_2, ...\ldots, x_k) = (\sigma_1^l, \sigma_2^l, ...\ldots, \sigma_k^l) \\
0, \mbox{ otherwise}
\end{cases}</tex>
Другими словами, если строка, соответствующая аргументам функции <tex>x_1, x_2, ...\ldots, x_k</tex>, находится в <tex>i</tex>-й полосе, то функция возвращает значение, записанное в столбце сорта <tex>j</tex> для этой строки. Если же эта строка находится в другой полосе, то функция вернёт <tex>0</tex>. Иллюстрация принципа работы функции <tex>g_{ij}</tex> приведена на рис. 2.
=== Вывод исходной функции для фиксированной части параметров ===
Поскольку изначальный столбец <tex>(\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ...\ldots, \sigma_{n})</tex> складывается из столбцов соответствующих сортов в полосах,<tex dpi="145">f(x_1, x_2, ...\ldots, x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ...\ldots, \sigma_{n}) = \bigvee\limits_{i = 1}^p g_{ij_i}(x_1, x_2, ...\ldots, x_k)</tex>,где <tex>j_i</tex> {{---}} номер сорта столбца полосы <tex>i</tex>, являющегося соответствующей частью столбца <tex>(\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ...\ldots, \sigma_{n})</tex>.
== Мультиплексор и дешифратор ==
* булево значение <tex>z</tex>;
* <tex>n</tex>-значное число <tex>x</tex> в двоичном представлении
и выводящий <tex>z</tex> на <tex>x</tex>-й из своих <tex>2^n</tex> выходов. На все остальные выходы элемент выдаёт <tex>0</tex>.
}}
{|
== Доказательство ==
В качестве доказательства ниже будет предложен вариант такой схемы для произвольной функции <tex>f(x_1, x_2, ...\ldots, x_n)</tex> (представление Лупанова, ''англ.'' Lupanov <tex>(k, s)</tex>-representation).
[[Файл:Lupanov_scheme.png|550px|Иллюстрация частного случая представления Лупанова, описанного здесь]]
Для удобства поделим схему на блоки:
* '''Блок A''' {{---}} дешифратор, которому на вход подали <tex>1 </tex> и <tex>(x_1, x_2, ...\ldots, x_k)</tex> в качестве двоичного представления числа.* '''Блок B''' {{---}} схемная реализация всех <tex>g_{ij}</tex>. Функцию <tex>g_{ij}</tex> можно реализовать как <tex dpi="145">\bigvee\limits_{\beta_l = 1} y_{il}</tex>, где <tex>y_{il}</tex> {{---}} выдал ли дешифратор "<tex>1" </tex> на <tex>l</tex>-м выходе <tex>i</tex>-й полосы.* '''Блок C''' {{---}} схемная реализация всех <tex>f(x_1, x_2, ...\ldots, x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ...\ldots, \sigma_n)</tex>. ''(здесь <tex>\sigma_i</tex> - фиксированные параметры, см. п. 3.1)''* '''Блок D''' {{---}} мультиплексор, получающий на вход все <tex>f(x_1, x_2, ...\ldots, x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ...\ldots, \sigma_n)</tex> и параметры функции <tex>x_{k + 1}, x_{k + 2}, ...\ldots, x_n</tex> в качестве двоичного представления числа. '''''Результат работы схемы''''' {{---}} вывод мультиплексора.
Положим <tex>s = \lfloor n - 2\log_2 n\rfloor</tex>; <tex>k = \lfloor\log_2 n\rfloor</tex>. Тогда число элементов в блоках
* <tex>L_A = O(2^k) = O(2^{\log_2 n}) = O(n)</tex>
* <tex>L_B \leqslant (s - 1) \cdot (t(1) + t(2) + ... \ldots + t(p)) < sp \cdot 2^s = n \cdot \dfrac{2^n}{n^2} = \dfrac{2^n}{n}</tex>
* <tex>L_C = O(p \cdot 2^{n - k}) = O\left(\dfrac{p}{n} \cdot 2^n\right) = O\left(\dfrac{2^n}{s}\right) = O\left(\dfrac{2^n}{n - 2\log_2 n}\right)</tex>
* <tex>L_D = O(2^{n - k}) = O\left(\dfrac{2^n}{n}\right)</tex>
Итого, имеем схему c числом элементов <tex>L_A + L_B + L_C + L_D = O(n) + O\left(\frac{2^n}{n}\right) + O\left(\dfrac{2^n}{n - 2\log_2 n}\right) + O\left(\dfrac{2^n}{n}\right) = O\left(\dfrac{2^n}{n}\right)</tex>, откуда следует, что <tex>size_B (f) = O\left(\dfrac{2^n}{n}\right)</tex>, '''''ччто и требовалось доказать.т.д.'''''
== См. также ==
*[[Контактная_схема|Контактная схема]]
== Источник информации ==
