Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Участник:Artem.ustinov/НВП

9720 байт добавлено, 21:42, 19 января 2018
→‎Деление на блоки
{{Задача
|definition = Дана перестановка <tex>\pi</tex> множества<tex>~\{1, 2,~\dots,~n\}</tex>. Требуется найти [[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности | НВП]] <tex>\pi</tex> за <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log}k)</tex>, где <tex>k</tex> — длина НВП.
}}
Для каждой длины <tex>l = 1, 2,~\dots,~n</tex> предполагаемой НВП находим наименьший элемент, который может быть последним в возрастающей подпоследовательности длины <tex>l</tex> и запишем его в массив <tex>B_l</tex>. Будем называть его наилучшим элементом для длины <tex>l</tex>.
* Если <tex>\pi_i</tex> больше каждого элемента <tex>B</tex>, вычисленного для подпоследовательности <tex>\pi_1, \pi_2,~\dots~,\pi_{i-1}</tex>, значит тогда с ним можно сделать возрастающую подпоследовательность максимальной длины из уже рассмотренных, в которой он будет последним элементом. Значит, записываем его в конец <tex>B</tex>.* Иначе <tex>\pi_i</tex> будет наилучшим элементом для уже существующей длиныи сможет улучшить только один элемент в <tex>B</tex>, тогда мы находим наименьшее <tex>k\colon B_k > \pi_i</tex> и заменяем <tex>B_k</tex> элементом <tex>\pi_i</tex>.
Следует отметить, что полученный массив также образует возрастающую последовательность, на котором мы должны выполнять операции <tex>\mathrm{insert}, \mathrm{next}, \mathrm{delete}</tex>, соответственно целесообразно использовать [[ Приоритетные очереди | приоритетную очередь]], реализованную через [[Дерево ван Эмде Боаса]]. Так как данная структура данных производит описанные операции за <tex>O(\operatorname{log} k)</tex>, где k — количество бит чисел, которые позволяет хранить дерево, то полученный алгоритм работает за <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log} n)</tex>, потому что все элементы последовательности не превосходят n.
==== Пример ====
===== ''' Типы операций ====='''
* Добавление элемента, который больше всех предыдущих:
[[Файл:Operation2_1.jpg]] <tex>\longrightarrow</tex> [[Файл:Operation2_2.jpg]]
===== ''' Пример последовательности ====='''
{| class="wikitable" align="leftborder" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|-align="center"
! <tex>\pi_1</tex> || <tex>\pi_2</tex> || <tex>\pi_3</tex> || <tex>\pi_4</tex> || <tex>\pi_5</tex> || <tex>\pi_6</tex> || <tex>\pi_7</tex> || <tex>\pi_8</tex> || <tex>\pi_9</tex> || <tex>\pi_{10}</tex> || <tex>\pi_{11}</tex> || <tex>\pi_{12}</tex>
|-align="center"
| <tex>9 </tex> || <tex>3 </tex> || <tex>10 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>8 </tex> || <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>12 </tex> || <tex>6 </tex> || <tex>5 </tex> || <tex>7 </tex> || <tex>11</tex>
|}
===== ''' Состояние очереди при каждом добавлении ====='''
{| class="wikitable" align="leftborder" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|-align="center"
! <tex>B_1</tex> || <tex>B_2</tex> || <tex>B_3</tex> || <tex>B_4</tex> || <tex>B_5</tex> || <tex>~\pi_i~</tex>
|-align="center"
| style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>9 </tex> || || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>9</tex>
|-align="center"
| style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>3 </tex> || || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>3</tex>
|-align="center"
| <tex>3 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>10 </tex> || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>10</tex>
|-align="center"
| <tex>3 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>4 </tex> || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>4</tex>
|-align="center"
| <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>8</tex>
|-align="center"
| style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>1 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>1</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>2 </tex> || <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>2</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>8 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>12</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>6 </tex> || <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>6</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>5 </tex> || <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>5</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>5 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>7 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>7</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>5 </tex> || <tex>7 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>11 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>11</tex>
|}
==== Псевдокод ====
<code>
'''int''' LIS(<tex>\pi</tex>[n]) '''PriorityQueue''' B <font color=darkgreen>// рабочая приоритетная очередь</font> '''int''' k = 0 <font color=darkgreen>// длина НВП</font> '''for''' i = 1 '''to''' n x = <tex>\pi</tex>[i] <font color=darkgreen>// в любом случае добавляем в очередь очередной элемент</font> <font color=darkgreen>// устаревшие будем удалять</font> B.insert(x) '''if''' <tex>\exists</tex> B.next(x) <font color=darkgreen>// добавленный элемент — не максимальный</font> <font color=darkgreen>// удаляем следующее за x значение</font> B.delete(B.next(x)) '''else''' <font color=darkgreen>// добавленный элемент — максимальный</font> <font color=darkgreen>// предыдущие значения не трогаем, очередь увеличилась</font> k = k + 1 '''return''' k</code>
=== Расширение алгоритма до нахождения НВП ===
! <tex>B_1</tex> || <tex>B_2</tex> || <tex>B_3</tex> || <tex>B_4</tex> || <tex>B_5</tex> || <tex>~\pi_i~</tex>
|-align="center"
| <tex>9 </tex> || || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>9</tex>
|-align="center"
| <tex>3 </tex> || || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>3</tex>
|-align="center"
| <tex>3 </tex> || <tex>10 </tex> || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>10</tex>
|-align="center"
| <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>4</tex>
|-align="center"
| <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>8</tex>
|-align="center"
| style="background:#FFCC00FFDF90"| <tex>1 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>1</tex>
|-align="center"
| style="background:#FF7F00FFCFCF"|<tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFDF90"| <tex>2 </tex> || <tex>8 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>2</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFDF90"|<tex>2 </tex> || <tex>8 </tex> || <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>12</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFDF90"|<tex>2 </tex> || <tex>6 </tex> || <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>6</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || style="background:#FF7F00FFCFCF"|<tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFDF90"| <tex>5 </tex> || <tex>12 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>5</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FF7F00FFCFCF"| <tex>5 </tex> || style="background:#FFCC00FFDF90"| <tex>7 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>7</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>5 </tex> || style="background:#FF7F00FFCFCF"| <tex>7 </tex> || style="background:#FF7F00FFCFCF"| <tex>11 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>11</tex>
|}
{| class="wikitable" align="leftborder" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|-align="center"
! colspan="12" | predecessor
|-align="center"
! <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>5 </tex> || <tex>6 </tex> || <tex>7 </tex> || <tex>8 </tex> || <tex>9 </tex> || <tex>10 </tex> || <tex>11 </tex> || <tex>12 </tex>
|-align="center"
| || <tex>1 </tex> || || <tex>3 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>5 </tex> || <tex>4 </tex> || || <tex>3 </tex> || <tex>7 </tex> || <tex>8</tex>
|}
 
==== Псевдокод ====
<code>
'''int[]''' LIS(<tex>\pi</tex>[n]) '''PriorityQueue''' B '''int''' k = 0 <font color=blue>'''int''' predecessor[n]</font> <font color=darkgreen>// резервируем <tex>n</tex> позиций</font> '''for''' i = 1 '''to''' n x = <tex>\pi</tex>[i] B.insert(x) <font color=blue>predecessor[x] = B.prev(x)</font> '''if''' <tex>\exists</tex> B.next(x) B.delete(B.next(x)) '''else''' k = k + 1 <font color=darkgreen>// по цепочке от последнего элемента // восстанавливаем НВП</font> <font color=blue>'''int''' result[k] '''int''' cur = B.max '''for''' i = k - 1 '''downto''' 0 result[i] = cur cur = predecessor[cur] '''return''' result</font></code>
== Оптимизация до O(n log log k) ==
===Основная идея===
Чтобы [[Дерево ван Эмде Боаса]] выполняло операции за <tex>O(\operatorname{log}\operatorname{log}k)</tex>, необходимо алфавит обрабатываемых значений уменьшить до <tex>O(k)</tex>.
Предположим, мы знаем такое приближение числа <tex>k</tex> числом <tex>m: m \geqslant k</tex>. Мы обсудим, как найти такое <tex>m</tex> позже.
Чтобы достичь нужной оценкиВо время обработки ключей элементов описанный выше алгоритм <tex>\mathrm{LIS}</tex> работает только с очередью <tex>B</tex> и не зависит от предыдущих элементов последовательности, которые не находятся в очереди. Поэтому, будем делить если мы разобьем всю последовательность на блоки из <tex>m</tex> блоков, кроме последнего, который элементов (последний блок может быть меньше), и нам удастся обрабатывать каждый блок отдельнокак перестановку из <tex>m</tex> элементов, сохраняя очередь <tex>B</tex> для вычисленных ранее блоков, то мы получим асимптотическое время <tex>O(n \operatorname{log} \operatorname{log} (k + m))</tex>, а так как <tex>m \geqslant k</tex>, то <tex>O(n \operatorname{log} \operatorname{log} m)</tex>. (Мы будем обрабатывать блоки последовательно, т.е. с предыдущего блока у нас может остаться <tex>k</tex> значений в очереди, которые дополняются <tex>m</tex> значениями очередного блока — получаем верхнее ограничение в <tex>k + m</tex> обрабатываемых возможных значений.)
=== Деление на блоки===
Последовательность <tex>S</tex> делится на блоки <tex>C_j,~j=1,~\dots,~\lceil\frac{n}{m}\rceil</tex> элементов:
<tex>C_j=(\pi_{(j-1)m+1},\pi_{(j-1)m+2},~\dots~,\pi_{(j-1)m+m)})</tex>
Обозначим за <tex>C_j^s</tex> отсортированный блок <tex>C_j</tex>. Отсортированные и неотсортированные блоки будем хранить в памяти.
[[Цифровая сортировка]] каждых блоков каждого блока отдельно будет давать нам время рваботы работы <tex>O \left(\dfrac{n}{m}n \right) = O \left(\dfrac{n^2}{m} \right)</tex>. Чтобы отсортировать их за линейное время, дополним Дополним каждый элемент номером его блока и получим пары <tex>\langle\lceil i/m\rceil,\pi_i\ranglepi</tex>номером блока, в котором он находится и смещением в этом блоке. Цифровая сортировка этих парТеперь, если принимать за рассматривая номер блока как старший разряд номер блока, а за элемент как младший значение элементаразряд (по смещению внутри блока не сортируем), будет работать можно сортировать цифровой сортировкой за линейное время <tex>O(n)</tex>, потому что значения элементов и номера блоков не превосходят <tex>n</tex>. === Обработка блока ===Обрабатывая блоки, будем работать не со значениями элементов, а с ключами, которые определенны для каждого элемента внутри блоков. Все блоки будут обрабатываться онлайн, то есть мы не перейдём к обработке следующего блока, пока не закончим с текущим. Каждому элементу <tex>x</tex> взаимно однозначно сопоставим ключ <tex>y = \mathtt{key}(x);~x=\mathtt{elt}(y)</tex>. Если все значения ключей будут находятся в промежутке <tex>\{1,2,\dots,2m\}</tex>, то эффективней будет работать с ключами элементов в очереди <tex>B</tex>. Чтобы определить ключи элементам так, чтобы их значения были в представленном промежутке, работая с блоком <tex>C_j</tex> будем сливать элементы, ключи которых находятся в очереди <tex>B</tex> с <tex>C_j^s</tex> в список <tex>\mathtt{merged}</tex>.Сопоставим каждому элементу в списке его позицию. Это и будет наш ключ. Заметим, что элементы, чьи ключи находятся в <tex>B</tex> располагаются в возрастающеме порядке, поэтому достаточно производить тривиальную операцию [[Сортировка слиянием#Принцип работы#Слияние двух массивов | слияния]]. Поскольку мы предположили, что <tex>m\geqslant k</tex>, то количество ключей в <tex>B</tex> не больше <tex>m</tex>, тогда длина <tex>\mathtt{merged}</tex> не больше <tex>2m</tex>, что позволяет однозначно определить ключи на множестве <tex>\{1,2,\dots,2m\}</tex>. После того, как ключи определенны, обновляем ключи в очереди <tex>B</tex>. После этого запускаем, описанный выше алгоритм <tex>\mathrm{LIS}</tex>, для ключей элементов <tex>C_j</tex> в порялке исходной последовательности.
В итогеПерестановка смещений, обработка блока делится на следующие этапы:* Достаем из очереди образованная в сортированном блоке есть не что иное, как обратная перестановка перестановки <tex>B</tex> ключи <tex>x\xi</tex>, конвертируем их в элементы <tex>\mathtt{elt}(x)</tex> и кладём в список <tex>\mathtt{bestelems}</tex>которой соотносятся между собой как элементы исходного блока. Т.е.* Сливаем элементы в если элемент <tex>\mathtt{bestelems}pi</tex> со следующим отсортированным блоком находится в список <tex>\mathtt{merged}</tex>.* Присваеваем новые ключи элементам исходной перестановке в порядке списка блоке <tex>\mathtt{merged}C_j</tex>.* Вставляем в на позиции <tex>Bi</tex> новые ключи элементов <tex>\mathtt{bestelems}</tex>.* Обрабатываем ключи элементов блока , то в порядке исходной последовательности с помощью алгоритма блоке <tex>\mathrm{LIS}C_j^s</tex>. Для восстановления НВП также используем массив "предшественников", который будет работать с соответсвующими ключам элементами он на позиции <tex>\mathtt{elt}(x)xi_i</tex>.
====Пример====
{| class="wikitable" style="text-align:center"
| Блок ||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>3</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>3</tex>
|-
|<tex>\pi</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>9</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>10</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>8</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>12</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>6</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>7</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>11</tex>|-|Смещение ||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>2</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>5</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>3</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>4</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>2</tex>
|}
После сортировки:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|Блок ||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>3</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>3</tex>
|-
|<tex>\pi</tex> ||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>8</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>9</tex>||style="background:#FF8080FFC9C9"|<tex>10</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>6</tex>||style="background:#80FF80B9FFB9"|<tex>12</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>7</tex>||style="background:#8080FFCFCFFF"|<tex>11</tex>|-|Смещение ||style="background:#FFC9C9"|<tex>2</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>5</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>4</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>3</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>2</tex>
|}
Обратные перестановки (<tex>\xi</tex>):
{| class="wikitable" style="center" style="background:#FFCC80"
! colspan="5"|<tex>1</tex> || colspan="5"|<tex>2</tex> || colspan="3"|<tex>3</tex>
|-align="center"
| style="background:#FFD0D0"|<tex>4</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>1</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>5</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>2</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>3</tex>
| style="background:#D0FFD0"|<tex>1</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>2</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>5</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>4</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>3</tex>
| style="background:#D0D0FF"|<tex>1</tex>||style="background:#D0D0FF"|<tex>2</tex>
|}
 
=== Обработка блока ===
Обрабатывая блок, каждому элементу <tex>x</tex> внутри этого блока взаимно однозначно сопоставим ключ <tex>y = \mathtt{key}(x);~x=\mathtt{elt}(y)</tex> так, чтобы их значения находились в промежутке <tex>\{1,2,\dots,2m\}</tex>. Очередь <tex>B</tex> будет работать непосредственно с ключами элементов.
Работая с блоком <tex>C_j</tex>, будем сливать элементы, ключи которых находятся в очереди <tex>B</tex>, с <tex>C_j^s</tex> в список <tex>\mathtt{merged}</tex>. Поскольку мы предположили, что <tex>m\geqslant k</tex>, то количество ключей в <tex>B</tex> не больше <tex>m</tex>, тогда длина <tex>\mathtt{merged}</tex> не больше <tex>2m</tex>, что позволяет однозначно определить ключи на множестве <tex>\{1,2,\dots,2m\}</tex>. Как было замечено ранее, элементы, чьи ключи находятся в <tex>B</tex>, располагаются в возрастающем порядке, поэтому возможно производить тривиальную операцию [[Сортировка слиянием#Принцип работы#Слияние двух массивов | слияния]] за <tex>O(m)</tex>.
 
В итоге, получим отсортированный список <tex>\mathtt{merged}</tex>. Сопоставим ключ каждому элементу как его позицию в этом списке, тогда справедливы утверждения, что <tex>\mathtt{elt}(x)=\mathtt{merged}[x]</tex> и <tex>(\pi_{i}<\pi_{k} \Longleftrightarrow \mathtt{key}(\pi_{i})<\mathtt{key}(\pi_{k}))</tex>, где <tex>\pi_{i},\pi_{k}\in \mathtt{merged}</tex>, поэтому любая возрастающая последовательность ключей элементов будет соответствовать возрастающей последовательности элементов. Таким образом, приоритетная очередь сможет корректно работать с ключами элементов.
 
Находим последовательность ключей, соответствующую элементам блока <tex>C_j^s</tex>. Действуя на эту последовательность перестановкой <tex>\xi_j</tex>, получаем последовательность ключей в порядке исходного блока.
 
Оставшиеся ключи, которые входят в <tex>\mathtt{merged}</tex>, но не являются ключами элементов в обрабатываемом блоке, будут ключами элементов из очереди <tex>B</tex>. Обновляем очередь <tex>B</tex> этими ключами.
 
Затем запускаем алгоритм <tex>\mathrm{LIS}</tex>, для ключей элементов <tex>C_j</tex> в порядке исходной последовательности.
 
В итоге, обработка блока делится на следующие этапы:
* Достаем из очереди <tex>B</tex> ключи <tex>x</tex>, конвертируем их в элементы <tex>\mathtt{elt}(x)</tex> и кладём в список <tex>\mathtt{elems}</tex>.
* Сливаем элементы в <tex>\mathtt{elems}</tex> со следующим отсортированным блоком <tex>C_j^s</tex> в список <tex>\mathtt{merged}</tex>, генерируя два вспомогательных массива <tex>\mathtt{ind_0}</tex> и <tex>\mathtt{ind_1}</tex>, хранящих индексы элементов списков <tex>C_j^s</tex> и <tex>\mathtt{elems}</tex> соответственно в списке <tex>\mathtt{merged}</tex>.
* Действуя на последовательность ключей в списке <tex>\mathtt{ind_0}</tex> перестановкой <tex>\xi_j</tex> получим ключи в порядке исходной последовательности.
* Вставляем в <tex>B</tex> новые ключи элементов списка <tex>\mathtt{elems}</tex> (элементы <tex>\mathtt{ind_1}</tex>).
* Обрабатываем ключи элементов блока в порядке исходной последовательности с помощью алгоритма <tex>\mathrm{LIS}</tex>. Для восстановления НВП также используем массив "предшественников", который будет работать с соответствующими ключам элементами <tex>\mathtt{elt}(x)</tex>.
 
====Пример====
''' Первый блок '''
 
Так как очередь <tex>B</tex> в начале пуста, то <tex>\mathtt{merged}=C_1^s</tex>. Присвоим ключи элементам в списке <tex>\mathtt{merged}</tex> как их индексы в этом списке. Восстанавливаем последовательность ключей элементов в порядке исходной последовательности, действуя перестановкой смещений <tex>\xi_1</tex> на последовательность ключей в отсортированном блоке.
 
{|
| ||
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="6"|Первый блокСортированный
|-
| <tex>\pi</tex> ||style="background:#FFA080"|9||style="background:#FFDF80"|<tex>3</tex>||style="background:#FF9580"<tex>4</tex>|10|<tex>8</tex>|style="background:#FFD580"|4<tex>9</tex>||style="background:#FFAA80"|8<tex>10</tex>
|-
|<tex>key </tex> ||style="background:#FF9980"|4||style="background:#FFE680"|<tex>1</tex>||style="background:#FF8080"<tex>2</tex>|5|<tex>3</tex>|style="background:#FFCC80"|2<tex>4</tex>||style="background:#FFB380"|3<tex>5</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="6"|CортированныйПервый блок|-| <tex>\pi</tex> ||<tex>9</tex>||<tex>3</tex>||<tex>10</tex>||<tex>4</tex>||<tex>8</tex>
|-
| <tex>\pikey</tex> ||style="background:#FFDF80"|3||style="background:#FFD580"|<tex>4</tex>||style="background:#FFAA80"<tex>1</tex>|8|<tex>5</tex>|style="background:#FFA080"|9<tex>2</tex>||style="background:#FF9580"|10<tex>3</tex>
|-
|key <tex>\xi_1</tex> ||style="background:#FFE680"<tex>4</tex>||<tex>1</tex>||<tex>5</tex>|style="background:#FFCC80"|<tex>2</tex>||style="background:#FFB380"|<tex>3||style="background:#FF9980"|4||style="background:#FF8080"|5</tex>
|}
|}
Обработка блока с помощью алгоритма <tex>\mathrm{LIS}</tex>.
{| class="wikitable" style="center" ; style="background: #ffffcc"
! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>key</tex>||<tex>\pi</tex>
|-align="center"
| style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>4 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>4 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>9</tex>
|-align="center"
| style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>1 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>1 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>3</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>5 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>5 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>10</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>2 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>2 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>4</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>3 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>3 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>8</tex>
|}
<tex>\mathtt{merged}: \{3,4,8,9,10\}</tex>
 
'''Второй блок'''
Восстанавливаем элементы <tex>B: \{1, 2, 3\}</tex> из <tex>\mathtt{merged}: \{3, 4, 8, 9, 10\}</tex>: <tex>\{3, 4, 8\}</tex>.
Сливаем <tex>C_2^s</tex> и восстановеленные восстановленные элементы из <tex>B</tex>в <tex>\mathtt{merged}</tex> и присваиваем элементам ключи как индексы элементов в полученном списке:
{|
| ||
| colspan="3"|<tex>B</tex>
|-align="center"
| <tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>8</tex>
|}
| ||
| colspan="5"|<tex>C_2^s</tex>
|-align="center"
| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>12</tex>|}
|}
 
{|
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| ! colspan="9"|<tex>\mathtt{merged}</tex>
|-align="center"
|!<tex>\pi</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>8</tex>||<tex>12</tex>
|-align="center"
|!<tex>key</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>7</tex>||<tex>8</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| colspan="3"|<tex>\mathtt{ind_1}</tex>
|-align="center"
| <tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>7</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| colspan="5"|<tex>\mathtt{ind_0}</tex>
|-align="center"
| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>8</tex>
|}
|}
 
Получаем ключи элементов в <tex>C_2^s</tex> и находим перестановку ключей в порядке исходной последовательности, действуя перестановкой <tex>\xi_2</tex>:
{|
| ||
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="6"|Второй блокСортированный
|-
| <tex>\pi</tex> ||style="background:#FFF480"|<tex>1</tex>||style="background:#FFEA80"|<tex>2</tex>||style="background:#FF8080"<tex>5</tex>|12||style="background:#FFC080"|<tex>6</tex>||style="background:#FFCA80"|5<tex>12</tex>
|-
| <tex>key </tex> ||style="background:#FFE680"|<tex>1</tex>||style="background:#FFCC80"|<tex>2</tex>||style="background:#FF8080"<tex>5</tex>|8||style="background:#FF9980"|<tex>6</tex>||style="background:#FFB380"|5<tex>8</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="6"|CортированныйВторой блок|-| <tex>\pi</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>12</tex>||<tex>6</tex>||<tex>5</tex>
|-
| <tex>\pikey</tex> ||style="background:#FFF480"|<tex>1</tex>||style="background:#FFEA80"|<tex>2</tex>||style="background:#FFCA80"<tex>8</tex>|5||style="background:#FFC080"|<tex>6</tex>||style="background:#FF8080"|12<tex>5</tex>
|-
| key <tex>\xi_2</tex> ||style="background:#FFE680"|<tex>1</tex>||style="background:#FFCC80"|<tex>2</tex>||style="background:#FFB380"|<tex>5</tex>||style="background:#FF9980"|6|<tex>4</tex>|style="background:#FF8080"|8<tex>3</tex>
|}
|}
Обновляем ключи в очереди:
{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"
! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>\pikey</tex>
|-align="center"
| style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>3 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>3</tex>
|-align="center"
| <tex>3 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>4 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>4</tex>
|-align="center"
| <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>7 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>7</tex>
|}
запускаем <tex>\mathrm{LIS}</tex> новыхдля блока:
{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"
! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>key</tex>||<tex>\pi</tex>
|-align="center"
| style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>1 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>7 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>1 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>1</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>2 </tex> || <tex>7 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>2 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>2</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>7 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>8 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>8 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>12</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>6 </tex> || <tex>8 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>6 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>6</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>5 </tex> || <tex>8 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>5 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>5</tex>
|}
<tex>\mathtt{merged}: \{1,2,3,4,5,6,8,12\}</tex>
 
'''Третий блок'''
Восстанавливаем элементы <tex>B: \{1, 2, 5, 8\}</tex> из <tex>\mathtt{merged}: \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12\}</tex>: <tex>\{1, 2, 5, 12\}</tex>.
Сливаем <tex>C_3^s</tex> и восстановленные элементы из <tex>B</tex>и присваиваем ключи элементам:
{|
| ||
| colspan="4"|<tex>B</tex>
|-align="center"
| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>12</tex>
|}
| ||
| colspan="2"|<tex>C_3^s</tex>
|-align="center"
| <tex>7</tex>||<tex>11</tex>|}|} {|| ||{| class="wikitable" style="center"|-align="center"! colspan="7"|<tex>\mathtt{merged}</tex>|-align="center"|<tex>\pi</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>7</tex>||<tex>11</tex>||<tex>12</tex>|-align="center"|<tex>key</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| colspan="64"|<tex>\mathtt{mergedind_1}</tex>
|-align="center"
|!\pi|<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>6</tex>|}|5||7{|class="wikitable" style="center"|11-align="center"|colspan="2"|12<tex>\mathtt{ind_0}</tex>
|-align="center"
|!key|1||2||3||<tex>4</tex>||<tex>5||6</tex>
|}
|}
 
Получаем ключи элементов в <tex>C_3^s</tex> и находим перестановку ключей в порядке исходной последовательности, действуя перестановкой <tex>\xi_3</tex>:
{|
| ||
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="3"|третий Третий блок
|-
| <tex>\pi</tex> ||style="background:#FFB580"|<tex>7</tex>||style="background:#FF8B80"|<tex>11</tex>
|-
| <tex>key </tex> ||style="background:#FFC080"|<tex>4</tex>||style="background:#FF8080"|<tex>5</tex>
|}
| ||
! colspan="3"|Cортированный
|-
| <tex>\pi</tex> ||style="background:#FFB580"<tex>7</tex>||<tex>11</tex>|-| <tex>key</tex> |7|<tex>4</tex>|style="background:#FF8B80"|11<tex>5</tex>
|-
| key <tex>\xi_3</tex> ||style="background:#FFC080"<tex>1</tex>|4||style="background:#FF8080"|5<tex>2</tex>
|}
|}
Обновление старых ключей:
{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"
! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>\pikey</tex>
|-align="center"
| style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>1 </tex> || || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>1</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>2 </tex> || || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>2</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>3 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>3</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>3 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>6 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>6</tex>
|}
 запускаем <tex>\mathrm{LIS}</tex> новыхдля блока:
{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"
! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>B_5</tex>||<tex>key</tex>||<tex>\pi</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>3 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>4 </tex> || || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>4 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>7</tex>
|-align="center"
| <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>3 </tex> || <tex>4 </tex> || style="background:#FFCC00FFC9C9"| <tex>5 </tex> || style="background: #77A9F4CFCFFF"| <tex>5 </tex> || style="background: #9ACD32B9FFB9"| <tex>11</tex>
|}
Результат завершения алгоритма:
<tex>\mathtt{merged}: \{1,2,5,7,11,12\}</tex>
Получаем, что длина НВП - — <tex>5</tex>, и НВП оканчивается на <tex>\mathtt{merged_5merged}[5]=11</tex>.
'''Восстановление НВП'''
! colspan="12"| <tex>\mathtt{predecessor}</tex>
|-align="center"
| style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#DCDCFF"|<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||<tex>8</tex>||<tex>9</tex>||<tex>10</tex>||style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>||<tex>12</tex>
|-align="center"
|style="background:#FFFFC8"| ||style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>|| ||<tex>3</tex>||style="background:#DCDCFF"|<tex>2</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||<tex>4</tex>|| ||<tex>3</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||<tex>8 </tex>
|}
Начинаем восстановление с <tex>\mathtt{merged}[5] = 11</tex>:
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| обратный порядок||style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>
|-align="center"
| НВП||style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>
|}
===Оценка времени работыНахождение размера блоков ===Так как размер списка <tex>\mathtt{merged}</tex> не больше <tex>2m</tex>, а количество блоков всего <tex>\lceil n/m \rceil</tex>. То количество присваиваний новых ключей элементам последовательности не больше <tex>2cm\cdot\dfrac{n}{m}=O(n)</tex>, где c — некоторая константа. Каждая операция с приоритетной очередью требует <tex>O(\log \log m)</tex> времени, так как элементы в <tex>B</tex> не больше <tex>2m</tex>. Докажем, что реализация данного алгоритма будет работать за время <tex>O(n \log \log m)</tex> для последовательности длины n.
Рассмотрим последовательность <tex>\{m_0,~m_1,~m_2,~\dots\}</tex>, где <tex> m_{i+1} = m_i ^{\operatorname{log}m_i} = 2^{\operatorname{log}^2m_i}</tex>, <tex>m_0</tex> — некоторое значение, меньшее <tex>k</tex>.
Будем по порядку последовательно для элементов этой последовательности запускать алгоритм, представленный выше. Если размер очереди <tex>B</tex> становится больше <tex>m_i</tex>, то условие <tex>m \geqslant k</tex> перестает выполняться, тогда останавливаем алгоритм, и переходим к следующему элементу значению <tex>m_{i+1}</tex>. Когда найдётся первое <tex>m_j:m_j\geqslant k</tex>, то алгоритм успешно завершится.
Таким образом, время работы алгоритма — Для каждого <tex>O(n \log \log {m_i})</tex> для размер списка <tex>0\leqslant i < jmathtt{merged}</tex>, потому что во время работы очередь не больше <tex>B2m_i</tex> хранит не более , а количество блоков всего <tex>\lceil n/m_i\rceil</tex> элементов. То общее количество присваиваний новых ключей элементам последовательности, также как и количество операций слияния списков, ключи которых не больше <tex>2m_i2cm_i\cdot\dfrac{n}{m_i}=O(n)</tex>, где c — некоторая константа. Для значения Каждая операция с приоритетной очередью требует <tex>m_jO(\log \log m_i)</tex> алгоритм успешно завершаетсявремени, так как условие полной обработки последовательности элементы в <tex>m\geqslant kB</tex> выполняется. Таким образом, время работы алгоритма для не больше <tex>m_j</tex> также <tex>O(n\log \log {m_j})2m_i</tex>.
ЗаметимТаким образом, что время работы запущенного алгоритма для каждого <tex>m_i</tex> — <tex>O(n \log \log {m_i})</tex>. Когда найдётся первое <tex>m_j:m_j\geqslant k</tex>, то алгоритм успешно завершится.
<tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_{i+1} = \operatorname{log}\operatorname{log}2^{\operatorname{log}^2m_i} = \operatorname{log}\operatorname{log}^2m_i = 2\operatorname{log}\operatorname{log}m_i</tex>.
<tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_j = 2^{j-i}\operatorname{log}\operatorname{log}m_i</tex>
Общее время работы алгоритма для всех обработанных значений <tex>m_i</tex> — <tex>O(n(\sum_{i=0}\limits^{j}{2^{-(i-1)}})\log \log m_i) = O(n\operatorname{log}\operatorname{log}m_i)</tex>.  Заметим, что <tex>m_i < k^{\operatorname{log}k}</tex>, т.к. так как в противном случае <tex>m_{i-1} > k</tex>, что противоречит тому, что <tex>m_i</tex> — первый из тех, что которые больше <tex>k</tex>. Следовательно, <tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_i < 2\operatorname{log}\operatorname{log}k \</tex>.
Тогда алгоритм работает за Получаем время работы <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log}k)</tex>.
== См. также ==
Artem.ustinov
76
правок
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/63243...63629»

Навигация