29
правок
Изменения
доказательство достаточности
[[file:Treeforkraft.jpg|thumb|250px|Иллюстрация к доказательству индукционного перехода]]
'''Необходимость:'''
Напомним, что префиксный код можно представить в виде <tex>r</tex>-ичного корневого дерева, рёбра которого соответствуют символам алфавита, а листья соответствующим кодам. Неравенство Крафта будем доказывать по [[Математическая индукция|индукции]].
Для простоты рассмотрим сначала случай двоичного алфавита, то есть <tex>r = 2</tex>.
'''База: ''' Если максимальная длина пути на дереве равна <tex>1</tex>, то в дереве есть одно или два ребра длины <tex>1</tex>. Таким образом, либо <tex> \dfrac{1}{2} \leqslant 1 </tex> — для одного символа источника, либо <tex> \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \leqslant 1 </tex> — для двух символов источника.
'''Переход:''' Предположим далее, что неравенство Крафта справедливо для всех деревьев высоты меньше <tex>n - 1</tex>.
Докажем, что оно справедливо и для всех деревьев высоты меньше <tex>n</tex>. Для данного дерева максимальной высоты <tex>n</tex> ребра из первой вершины ведут к двум поддеревьям, высоты которых не превышают <tex>n - 1</tex>; для этих поддеревьев имеем неравенства <tex>K_1 \leqslant 1</tex> и <tex>K_2 \leqslant 1</tex>, где <tex>K_1, K_2</tex> — значения соответствующих им сумм. Каждая длина <tex>l_i</tex> в поддереве увеличивается на <tex>1</tex>, когда поддерево присоединяется к основному дереву, поэтому возникает дополнительный множитель <tex>\dfrac{1}{2}</tex>. Таким образом, имеем <tex>\dfrac{1}{2} K_1 + \dfrac{1}{2} K_2 \leqslant 1</tex>.
Для доказательства достаточности опишем рекурсивную процедуру, которая строит код для данного набора длин <tex> l_i </tex>, удовлетворяющих неравенству <tex> \sum\limits_{i = 1}^{n} r ^{-l_i} \leqslant 1 </tex>.
}}
