Изменения

Введём функцию <tex>l(e):e{\rightarrow}[0;\mathrm{\log} n]</tex> и назовём её ''уровнем ребра'' <tex>e</tex>. Будем рассматривать графы <tex>G_i=\langle V, E\rangle: \{E | l(E) \geqslant i\}</tex>. Очевидно, что <tex>G_{\mathrm{\log}n} \subseteq G_{\mathrm{\log}n-1} \subseteq ... \subseteq G_1 \subseteq G_0</tex>. Выделим в них остовные леса таким образом, чтобы <tex>F_{\mathrm{\log}n} \subseteq F_{\mathrm{\log}n-1} \subseteq ... \subseteq F_1 \subseteq F_0</tex>, где <tex>F_i</tex> {{---}} остовный лес графа <tex>G_i</tex>.

При удалении возможны случаи:

Осталось проверить, является ли ребро мостом. Будем искать ребро <tex>xy</tex> на уровне <tex>l(uv)</tex>, затем <tex>l(uv)-1</tex>, <tex>l(uv)-2</tex><tex>{{...}}</tex>. Рассматривать будем меньшую из частей (будем считать, что <tex>|T(u)|\leqslant|T(v)|</tex>, в противном случае просто поменяем исследуемые вершины местами). Если мы находим такое ребро, что оно ведёт в другую часть, то останавливаемся и говорим, что <tex>uv</tex> не мост. Иначе увеличиваем уровень ребра, чтобы заново к нему не обращаться или уменьшаем уровень и повторяем процедуру. Суммарная сложность сканирования рёбер будет <tex>O(|T(u)|\mathrm{\log}n)</tex>, так как в худшем случае мы проверяем каждую вершину из <tex>T(u)</tex>, а уровень ребра не превосходит <tex>\mathrm{\log}n</tex>.