|statement=<tex dpi=150> x^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n (L(n,k) \times (x)_k) = \sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k) </tex>
|proof=
Заметим, что Второе равенство получается из определения чисел Лаха<tex dpiref name=150>(x)_k=0<"Lah numbers"/tex> при <tex dpi=150>x<k</tex>. Поэтому осталось доказать лишь то, поэтому слагаемые из суммы в что левая часть равняется правой части, начиная с <tex dpi=150>k=m</tex>, равны нулю, то есть::<tex dpi=150>x^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k)</tex>Подставим целое <tex dpi=150>m</tex> из отрезка <tex dpi=150>[0;n]</tex>, тогда получим::<tex dpi=150> m^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (xm)_k)</tex>Подставим целое Заметим, что <tex dpi=150>(m)_k=0</tex> из отрезка при <tex dpi=150>[0;n]m<k</tex>, тогда получим (заметимпоэтому слагаемые из суммы в правой части, что <tex dpi=150>(x)_k=0</tex> при начиная с <tex dpi=150>x<k\geqslant m</tex>), равны нулю, то есть::<tex dpi=150>\fracsum\limits_{k=1}^n (\binom{n+m-1)}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m-1)!}_k)=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\fracbinom{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{n!}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!}_k)</tex>
Поделим обе части на <tex dpi=150>n!</tex> и получим, что левая часть равна:
:<tex dpi=150>\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!n!}=\frac{(n+m-1)!}{((n+m-1)-n)!n!}=\binom{n+m-1}{n}</tex>
<tex dpi=150>\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{1}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})</tex>
:<tex dpi=150>=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1}\times\binom{m}{k})</tex>
То есть мы хотим теперь доказать тождество:
:<tex dpi=150>\binom{n+m-1}{n}=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{n-k}\times\binom{m}{k})</tex>
