Изменения

Пусть последовательность <tex>a_0,a_1,...\cdots</tex> положительных чисел такова, что <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{n^k+\alpha_1 n^{k-1}+...\cdots +\alpha_k}{n^k+\beta_1 n^{k-1}+...\cdots +\beta_k}(4.1)</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim cA^n n^{\alpha_1-\beta_1}(4.2)</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.

Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim {\frac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim_{n \to \infty} { \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n}</tex>.

Для доказательства существования предела (4.5) применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>. Фундаментальность последовательности означает, что для любого <tex>\&epsilon; >0</tex> существует такой номер <tex>N</tex>, что для всех <tex>n > N</tex> и всех положительных <tex>m</tex>

<tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - (n+m)\ln A + n\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|<\&epsilon;</tex>,

<tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - m\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|<\&epsilon;</tex>.

Прологарифмировав (4.7)отношение <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}</tex>, получаем