344
правки
Изменения
Нет описания правки
==Определение натуральных чисел==
''Oсновная статья:'' [[Натуральные числа | Натуральные числа]]
===Неформальное определение===
{{Определение
|definition=
'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
}}
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
* '''перечислении (нумеровании) предметов''' (''первый'', ''второй'', ''третий''…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
* '''обозначении количества предметов''' (''нет предметов'', ''один предмет'', ''два предмета''…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.
Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком <tex>\mathbb{N}</tex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
===Формальное определение===
Определить множество натуральных чисел позволяют '''аксиомы Пеано''' (англ. ''Peano axioms''):
{{Определение
|definition=
Множество <tex>\mathbb N</tex> будем называть '''множеством натуральных чисел''', если зафиксирован некоторый элемент <tex> 1\in\mathbb N</tex> (единица) и функция <tex>S\colon\mathbb N\to\mathbb N</tex> (функция следования) так, что выполнены следующие условия
# <tex>1\in\mathbb{N}</tex> (<tex>1</tex> является натуральным числом);
# Если <tex>x\in\mathbb{N}</tex>, то <tex>S(x)\in\mathbb{N}</tex> (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
# <tex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</tex> (<tex>1</tex> не следует ни за каким натуральным числом);
# Если <tex>S(b)=a</tex> и <tex>S(c)=a</tex>, тогда <tex>b=c</tex> (если натуральное число <tex>a</tex> непосредственно следует как за числом <tex>b</tex>, так и за числом <tex>c</tex>, то <tex>b=c</tex>);
# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
:: если <tex>P(1)</tex> и <tex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</tex>, то <tex>\forall n\;P(n)</tex>
:: ('''Если''' некоторое высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
}}
===Теоретико-множественное определение===
Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
* <tex>0=\varnothing</tex>
* <tex>S(n)=n\cup\left\{n\right\}</tex>
Числа, заданные таким образом, называются ординальными.
Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:
* <tex>0=\varnothing</tex>
* <tex>1=\left\{\varnothing\right\}</tex>
* <tex>2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}</tex>
* <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>
Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \dots.</tex>
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».
==Деление чисел с остатком==
