Изменения

 Пусть <tex>n+ — </tex> следующее за <tex>n <.tex> натуральное число, например <tex>0+ = 1, 1+ = 2. Пусть a + 0 = a.</tex> . Тогда общая сумма определяется рекурсивно: <tex>a + (b+) = (a + b)+</tex>. Отсюда <tex>1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2.</tex>.

Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C,\A,\B\</tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[C], [A], [B]</tex>. Тогда арифметическая операция '''умножение''' определяется следующим образом:<tex>[C] = [A]⋅\cdot [B] = [A×BA \times B];</tex>где: <tex>A×BA \times B={(a,\ b)∣a∈A \mid a∈A,\ b∈B}</tex> прямое произведение множеств — множество <tex>C,</tex> элементами которого являются упорядоченные пары <tex>(a, \ b)</tex> для всевозможных  <tex>a∈A, \ b∈B</tex>. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N }</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств C , A , B порождённых биекциями, с помощью скобок: [ C ] , [ A ] , [ B ]. Тогда арифметическая операция «вычитание» определяется следующим образом:

где A \ B = { C ∈ A ∣ \mid C ∉ B ∣ \mid B ⊂ A } — разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.