344
правки
Изменения
Нет описания правки
Докажем, что ряд <tex>\psi(s)</tex> сходится абсолютно в любой точке <tex>s,\,\left\vert s \right\vert = q < \rho</tex>.
Поскольку функция <tex>\varphi</tex> монотонна и непрерывна на отрезке <tex>[0, r],\,</tex>существует точка <tex>p \in [0, r]</tex>, такая, что <tex>\varphi(p) = q</tex>. Поэтому для любой частичной суммы <tex> \psi_n(s) = \psi_0 + \psi_1 \cdot s + \ldots + \psi_n \cdot s^n</tex> ряда <tex> \psi(s) </tex>
<tex> \left\vert \psi_n(s) \right\vert \leqslant \psi_n(q) = \psi_n(\varphi(p)) \leqslant \varphi(p),</tex>где последнее неравенство следует из предыдущего замечания.Первое утверждение теоремы доказано. Перепишем теперь утверждение Лагранжа <tex> \varphi(s) = s \cdot \psi \cdot (\varphi(s)) </tex> в виде <tex> \psi(\lambda) = \dfrac {\lambda} {\varphi^{-1}(\lambda)}. </tex>Функции <tex>\psi(\lambda) </tex> и <tex> \varphi^{-1}(\lambda)</tex> определены и голоморфны внутри круга радиуса <tex>\rho </tex>. Теорема будет доказана, если мы покажем, что функцию <tex>\varphi^{-1}(\lambda)</tex> нельзя продолжить голоморфно ни в какую окрестность точки <tex>\rho</tex>. Предположим, что такое продолжение существует. Тогда <tex> ({\varphi^{-1}}')(\rho) = \lim_{n \to \rho - 0}({\varphi^{-1}} ')(\lambda) = \dfrac {1} {\lim_{t \to r - 0} {\varphi} ' (t)}. </tex>Последний предел существует и, по условию теоремы, положителен.Поэтому функция <tex>\varphi^{-1}</tex>обратима в окрестности точки <tex>\rho,</tex> что, в свою очередь, противоречит условиям теоремы.
}}
Отметим, что производящий ряд для чисел Каталана <tex>Cat(s)</tex>сходится при <tex>s = r = \dfrac{1}{4},</tex> так как числа Каталана имеют асимптотику <tex>4^n \cdot n^{-3/2},</tex> а ряд <tex>\sum_{} n^{-3/2}</tex> сходится. С другой стороны, коэффиценты производной имеют асимптотику <tex>4^n \cdot n^{-1/2},</tex> и поэтому ряд <tex>Cat ' (\dfrac{1}{4})</tex> расходится. В результате теорема в полном объеме к функции Каталана неприменима, а второе утверждение оказывается неверным.
