Изменения
Нет описания правки
== Доказательство теоремы ==
Обозначим через ''d'' минимальный элемент матрицы '''''P''''' (''d''>0). Введем функцию ''f'', переводящую вероятностный вектор в другой: <tex>f=p \times P</tex>. Отображение ''f'' сжимающиеся, т.е. отношение "расстояния" между ''f(p)'' и ''f(q)'' к расстоянию между векторами ''p '' и ''q '' не превосходит, некоторого ''R'' (''R''<1).
Пусть расстояние между ''p'' и ''q'' равно: <tex>r(p,r) = \sum_{i} {|p_i - q_i|}</tex>
Где <tex>(1-md)< 1</tex>, следовательно оно равно ''R''.
В итоге получаем <tex>r(pP,qP)\leqslant R \times r(p,q)</tex>, из которого следует для любого ''n'' <tex>r(pP^n,qP^n)\leqslant R^n \times r(p,q)</tex>. Отсюда получаем сходимость <tex>p^{(0)}P^n</tex>. И переходя в исходном уравнении к пределу , в итоге получаем уравнение для предельного вектора <tex>\bar p</tex> <tex>\bar p = \bar p P</tex>.
Единственность решения для уравнения следует из этого же неравенства. Если <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex> решения системы, то получаем <tex>r(p_1,p_2)=r(p_1P,p_2P)\leqslant R \times r(p_1,p_2)</tex>, что возможно только при совпадении этих решений.
