Изменения

Рассмотрим неориентированный невзвешенный [[Основные определения теории графов|граф]] <tex> G =\langle V, E \rangle </tex>, где <tex>V </tex> {{---}} множество [[Основные определения теории графов| вершин]], <tex>E </tex> {{Определение---}} множество [[Основные определения теории графов|рёбер]]. Требуется найти в нём максимальное паросочетание. Приведём пример, на котором [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|definition= Соцветие алгоритм Куна]] работать не будет. Рассмотрим граф <tex>BG</tex> графа с множеством вершин <tex>GV=(V{1,2,3,E)4} </tex> , и множеством рёбер {{- цикл, состоящий из --}}<tex>2k + E={\langle 1,2 \rangle, \langle 2, 3 \rangle, \langle 3, 1\rangle, \langle 2, 4 \rangle}</tex> ребери пусть ребро <tex>\langle 2, 3\rangle</tex> взято в паросочетание. Тогда при запуске из которых только вершины <tex>k1</tex> входят , если обход пойдёт сначала в соцветие вершину <tex>B2</tex>.}}{{Определение|definition= Cжатие соцветия - граф , то он зайдёт в тупик в вершине <tex>G'3</tex>, полученный из вместо того чтобы найти увеличивающую цепь <tex>G1-3-2-4</tex> сжатием соцветия . Как видно на этом примере, основная проблема заключается в том, что при попадании в одну псевдо-вершину.}}{{Определение|definition= База соцветия - вершина соцветияцикл нечётной длины, обход может пойти по циклу в которую входит ребро не из данного соцветиянеправильном направлении.}}

Пусть даны граф <tex>G</tex>, паросочетание <tex>M</tex> в графе <tex>G</tex> существует соцветие и цикл <tex>Z</tex> длины <tex>2k+1</tex>, содержащий <tex>k</tex> рёбер паросочетания <tex>M</tex> и вершинно непересекающийся с остальными рёбрами из <tex>BM</tex>.Построим новый граф <tex>G'<br /tex> из графа <tex>G</tex>, сжимая цикл <tex>Z</tex>до единичной вершины, при этом все ребра, инцидентные вершинам этого цикла, становятся инцидентными вершине в новом графе. Тогда паросочетание <tex>M -E(Z)</tex>, где <tex>E(z)</tex> {{---}} ребра, инцидентные циклу, является наибольшим в <tex>G'</tex> существует удлиняющий путь тогда и только тогда, когда существует удлиняющий путь М {{---}} наибольшее паросочетание в <tex>G\setminus B</tex>

Пусть граф Предположим, что <tex>M</tex> не является наибольшим паросочетанием в <tex>G'</tex> - граф, полученный тогда в силу [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих_цепях|теоремы о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]] существует увеличивающая относительно <tex>M</tex> цепь <tex>P</tex>. Если <tex>P</tex> не пересекается с <tex>GZ</tex> сжатием соцветия , то цепь является увеличивающей относительно <tex>BM'</tex> и в псевдо-вершину графе <tex>G'</tex>, а значит, <tex>BM'</tex>не может быть наибольшим паросочетанием.Поэтому предположим, что цепь <tex>P</tex> пересекается с <tex>Z<br /tex>. Заметим, что достаточно рассматривать случайхотя бы одна концевая вершина цепи <tex>P</tex> не лежит на <tex>Z</tex>, когда база соцветия является свободной вершиной (не принадлежащей паросочетанию)обозначим её через <tex>u</tex>. В противном случае в базе соцветия оканчивается чередующийся путь чётной длиныТогда пройдём по цепи <tex>P</tex>, начиная с <tex>u</tex> до первой встречной вершины на <tex>Z</tex>, начинающийся в свободной вершинеобозначим её через <tex>v</tex>. Прочередовав паросочетание вдоль этого путиТогда, при сжатии цикла <tex>Z</tex>, участок <tex>P[u, мощность паросочетания v]</tex> отобразится на увеличивающую цепь относительно <tex>M'</tex>, то есть <tex>M'</tex> не изменитсяявляется максимальным паросочетанием, а база соцветия станет свободной вершинойчто противоречит нашему предположению.

Теперь допустим, что <tex>\RightarrowM'</tex>не является наибольшим паросочетанием в графе <tex>G'</tex>. Обозначим через <tex>N'</tex> паросочетание в <tex>G'</tex>, мощности большей, чем <tex>M'</tex>. Восстановим граф <tex>G</tex>, тогда <tex>N'</tex> будет соответствовать некоторому паросочетанию в <tex>G</tex>, покрывающему не более одной вершины в <tex>Z</tex>. Следовательно паросочетание <tex>N'</tex> можно увеличить, используя <tex>k</tex> рёбер цикла <tex>Z</tex>, и получить паросочетание <tex>N</tex>, размера <tex>|N| = |N'|+k > |M'|+k = |M|</tex>, то есть <tex>M</tex> не является наибольшим паросочетанием в <tex>G</tex>, приходим к противоречию. Таким образом теорема доказана.}}

Пусть путь <tex>P</tex> является удлиняющим в графе <tex>G</tex>Для простоты описания алгоритма введём некоторые определения. Если <tex>P</tex> не проходит через <tex>B</tex>, то тогда он будет удлиняющим и в графе <tex>G{{Определение|definition= Будем называть '''соцветием'''</tex>. <br />Пусть проходит через <tex>B</tex>. Тогда что путь P представляет собой некоторый путь <tex>P_1</tex>, не проходящий по вершинам <tex>B</tex>, плюс некоторый путь <tex>P_2</tex>, проходящий по вершинам <tex>B</tex> и, возможно, другим вершинам. Но тогда путь <tex>P_1 + B'</tex> будет являться удлиняющим путём в графе графа <tex>G'</tex>, что и требовалось доказатьего цикл нечётной длины.

'''Cжатием соцветия''' назовём граф <tex>\LeftarrowG'</tex>, полученный из <tex>G</tex> сжатием всего нечётного цикла в одну псевдо-вершину. Все рёбра, инцидентные вершинам этого цикла, становятся инцидентными псевдо-вершине в новом графе.

Пусть путь <tex>P</tex> является удлиняющим путём в графе <tex>G'</tex>. Если <tex>P</tex> не проходит через <tex>B'</tex>'База соцветия''' - вершина соцветия, то тогда он будет удлиняющим и в графе <tex>G</tex>которую входит ребро не из данного соцветия. <br />}}

Рассмотрим отдельно случай, когда <tex>P</tex> начинается со сжатого соцветия <tex>B'</tex>, т[[Файл:blossom1.еjpg|300px|Рис. имеет вид <tex>(B', c, 1]][[Файл:blossom2.jpg|300px|Рис..)</tex>. Тогда в соцветии <tex>B</tex> найдётся соответствующая вершина <tex>v</tex>, которая связана ребром с <tex>c</tex>. Заметим, что из базы соцветия всегда найдётся чередующийся путь чётной длины до вершины <tex>v</tex>. Учитывая всё вышесказанное, получаем, что путь <tex>P_1(b,...v,...c,..)</tex> является увеличивающим путём в графе <tex>G</tex>.2]]

Пусть теперь путь ==Алгоритм вырезания соцветий==Опишем алгоритм, позволяющий находить максимальное паросочетание для произвольного графа <tex>PG</tex> проходит через псевдо-вершину . Из теоремы Эдмондса понятно, что необходимо рассматривать паросочетание в сжатом графе, где его можно найти, к примеру, при помощи алгоритма [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|Куна]], а после восстанавливать паросочетание в исходном графе. Основную сложность представляют операции сжатия и восстановления цветков. Чтобы эффективно это делать, для каждой вершины необходимо хранить указатель на базу цветка, которому она принадлежит, или на себя в противном случае. Предположим, что для поиска паросочетаний в сжатом графе, мы используем обход в ширину. Тогда на каждой итерации алгоритма будет строиться дерево обхода в ширину, причём путь в нём до любой вершины будет являться чередующимся путём, начинающимся с корня этого дерева. Будем класть в очередь только те вершины, расстояние от корня до которых в дереве путей чётно. Также для каждой вершины, расстояние до которой нечётно, в массиве предков <tex>B'p[]</tex>необходимо хранить её предка {{---}} чётную вершину. Заметим, но не начинается и не заканчивается что если в ней. Тогда процессе обхода в ширину мы из текущей вершины <tex>Pv</tex> есть два ребра, проходящих через приходим в такую вершину <tex>B'u</tex>, пусть это что она является корнем или принадлежит паросочетанию и дереву путей, то обе эти вершины принадлежат некоторому цветку. Действительно, при выполнении этих условий эти вершины являются чётными вершинами, следовательно расстояние от них до их наименьшего общего предка имеет одну чётность. Найдём наименьшего общего предка <tex>lca(au,B'v)</tex> и вершин <tex>u</tex>(B',c)<tex>v</tex>, который является базой цветка. Одно из них обязательно должно принадлежать паросочетаниюДля нахождения самого цикла необходимо пройтись от вершин <tex>u</tex>, однако, так как база <tex>v</tex> до базы цветка . В явном виде цветок сжимать не насыщенабудем, а просто положим в очередь обхода в ширину все остальные вершины цикла цветка насыщены рёбрами цикла, то мы приходим к противоречию принадлежащие цветку. Также для всех чётных вершин (это эквивалентно [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия за исключением базы) назначим предком соседнюю вершину в двудольных графах|случаю отсутствия ребра из цикле, а для вершин <tex>R_-u</tex> в и <tex>L_+v</tex>]])назначим предками друг друга. Таким образомЭто позволит корректно восстановить цветок в случае, этот случай просто невозможенкогда при восстановлении увеличивающего пути мы зайдем в нечётную вершину цикла. Теорема доказана.}}

==Алгоритм вырезания соцветийОценка сложности ==

Пусть дан произвольный граф Всего имеется <tex>G(V</tex> итераций, на каждой из которых выполняется обход в ширину за <tex>O(E)</tex> и требуется найти максимальное паросочетание в нём, кроме того, могут происходить операции сжатия цветков — их может быть <tex>O(V)</tex>. Сжатие соцветий работает за <tex>O(V)<br/tex>, то есть общая асимптотика алгоритма составит <tex>O(V(E + V^2)) = O(V^3)</tex>.

==Литература==*''Ловас, Пламмер'' '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике и физике'''*[http://e-maxx.ru/algo/matching_edmonds Алгоритм строит лес, содержащий деревья удлиняющих путей, корнями которых являются вершины не из Эдмондса нахождения наибольшего паросочетания.в произвольных графах]

Разобьем каждое неориентированное ребро <tex>(w, v)</tex> на два ориентированных ребра <tex>(w, v)</tex> [[Категория: Алгоритмы и <tex>(v, w)</tex>. структуры данных]]Каждое ребро может принимать одно из трех состояний[[Категория: непосещенное, четное и нечетное.Для каждой вершины из паросочетания <tex>v</tex> в <tex>mate(v)<tex> будем хранить вершину, смежную <tex>v</tex>.Задача о паросочетании]]