=== Обозначения ===
Рассмотрим пары <math>(x_i, x_j)</math> из элементов кластеризуемого множества <math>X</math>. Подсчитаем количество пар, в которых:
* Элементы принадлежат одному кластеру и одному классу {{---}} <math>TP</math>
* Элементы принадлежат одному кластеру, но разным классам {{---}} <math>TN</math>
* Элементы принадлежат разным кластерам, но одному классу {{---}} <math>FP</math>
* Элементы принадлежат разным кластерам и разным классам {{---}} <math>FN</math>
=== Rand Index ===
Индекс Rand оценивает, насколько много из тех пар элементов, которые находились в одном классе, и тех пар элементов, которые находились в разных классах, сохранили это состояние после кластеризации алгоритмом.
: <math>
Rand = \dfrac{TP+FN}{TP+TN+FP+FN}
</math>
Имеет область определения от 0 до 1, где 1 {{---}} полное совпадение кластеров с заданными классами, а 0 {{---}} отсутствие совпадений.
=== Adjusted Rand Index ===
Дано множество <math>S</math> из <math>n</math> элементов, и два разделения на кластеры <math>X = \{ X_1, X_2, \ldots , X_r \}</math> и <math>Y = \{ Y_1, Y_2, \ldots , Y_s \}</math>, совпадения между <math>X</math> и <math>Y</math> могут быть отражены в таблице сопряженности <math>\left[n_{ij}\right]</math>, где каждое <math>n_{ij}</math> обозначает число объектов, входящих как в<math>X_i</math>, так и в <math>Y_j</math> : <math>n_{ij}=|X_i \cap Y_j|</math>.
: <math>\begin{array}{c|cccc|c}
\ldots&
b_s&
n
\end{array}</math>
Тогда Пуст <math>p_{ij} = \dfrac{ n_{ij} }{ n }, p_{i} = \dfrac{ a_{i} }{ n }, p_{j} = \dfrac{ b_{j} }{ n } </math>. Также рассмотрим пары <math>(x_i, x_j)</math> из элементов кластеризуемого множества <math>X</math>. Подсчитаем количество пар, в которых:* Элементы принадлежат одному кластеру и одному классу {{---}} <math>TP</math>* Элементы принадлежат одному кластеру, но разным классам {{---}} <math>TN</math>* Элементы принадлежат разным кластерам, но одному классу {{---}} <math>FP</math>* Элементы принадлежат разным кластерам и разным классам {{---}} <math>FN</math> === Rand Index ===Индекс Rand оценивает, насколько много из тех пар элементов, которые находились в одном классе, и тех пар элементов, которые находились в разных классах, сохранили это состояние после кластеризации алгоритмом.: <math>Rand = \dfrac{TP+FN}{TP+TN+FP+FN}</math>Имеет область определения от 0 до 1, где 1 {{---}} полное совпадение кластеров с заданными классами, а 0 {{---}} отсутствие совпадений. === Adjusted Rand Index вычисляется по формуле:===
:<math>\overbrace{ARI}^\text{Adjusted Index} = \frac{ \overbrace{\sum_{ij} \binom{n_{ij}}{2}}^\text{Index} - \overbrace{[\sum_i \binom{a_i}{2} \sum_j \binom{b_j}{2}] / \binom{n}{2}}^\text{Expected Index} }{ \underbrace{\frac{1}{2} [\sum_i \binom{a_i}{2} + \sum_j \binom{b_j}{2}]}_\text{Max Index} - \underbrace{[\sum_i \binom{a_i}{2} \sum_j \binom{b_j}{2}] / \binom{n}{2}}_\text{Expected Index} }</math>
где <math>n_{ij}, a_i, b_j</math> {{---}} значения из таблицы сопряженности.
