77
правок
Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим случай двух классов: $Y = \{-1, +1\}$. В логистической регрессии строится линейный алгоритм классификации $a: X \to Y$ вида
<center><tex>a(x, w) = \mathrm{sign}\left(\sum\limits_{j=1}^n w_j f_j(x) - w_0 \right)=\mathrm{sign}\left<x, w\right></tex></center>,
где $w_j$ $-$ вес $j$-го признака, $w_0$ $-$ порог принятия решения, $w=\left(w_0, ..., w_n\right)$ $-$ вектор весов, $\left<x, w\right>$ $-$ скалярное произведение признакового описания объекта на вектор весов. Предполагается, что искусственно введён нулевой признак: $f_{0}(x)=-1$.
Задача обучения линейного классификатора заключается в том, чтобы по выборке $X^m$ настроить вектор весов $w$. В логистической регрессии для этого решается задача минимизации эмпирического риска с функцией потерь специального вида: <center><tex>Q(w) = \sum\limits_{i=1}^m \ln\left( 1 + \exp( -y_i \langle x_i,w \rangle ) \right) \to \min_{w}</tex></center>,
После того, как решение $w$ найдено, становится возможным не только вычислять классификацию $a(x) = \mathrm{sign}\langle x,w \rangle$ для произвольного объекта $x$, но и оценивать апостериорные вероятности его принадлежности классам:
<center><tex>\mathbb{P}\{y|x\} = \sigma\left( y \langle x,w \rangle\right),\;\; y\in Y</tex></center>,где $\sigma(z) = \frac1{1+e^{-z}}$ — {{---}} сигмоидная функция.
== Обоснование ==
<tex>p\left(x, y\right)=\mathrm{P}_yp_y\left(x\right)=\mathrm{P}\left(y|x\right)p\left(x\right)</tex>
где $\mathrm{P}_y$ $-$ ''априорные вероятности'',
$p_y(x)$ $-$ ''функции правдоподобия'', принадлежащие экспонентному семейству плотностей (т.е. $p_y(x) = \exp \left( \langle\theta,x\rangle \cdot a(\delta) + b(\delta,\theta) + d(x,\delta) \right)$, где $a, b, d$ $-$ произвольные функции);*функции правдоподобия имеют равные знаения параметра разброса $\delta$ и отличаются только значениями параметра сдвига $\theta_y$;*среди признаков есть константа, скажем, $f_0(x) = -1$;
Тогда
*линейный классификатор является оптимальным байесовским классификатором;*апостериорные вероятности классов оценивается по формуле <tex>\mathbb{P}\{y|x\} = \sigma\left( y \langle x,w \rangle\right),\;\; y\in Y</tex>.
|proof=
<center><tex>a\left(x\right)=
\mathrm{sign}\left(\lambda_+\mathrm{P}\left(+1|x\right)-\lambda_-\mathrm{P}\left(-1|x\right)\right)=
\mathrm{sign}\left(\frac{\mathrm{P}\left(+1|x\right)}{\mathrm{P}\left(-1|x\right)}-\frac{\lambda_-}{\lambda_+}\right)</tex></center>,
Рассмотрим отношение апостериорных вероятностей классов
<center><tex>\frac{\mathrm{P}\left(+1|x\right)}{\mathrm{P}\left(-1|x\right)} = \frac{\mathrm{P_+}p_+(x)}{\mathrm{P}_-p_-(x)}</tex></center>
и распишем функции правдоподобия, используя экспонентную формулу с параметрами $\theta_y$ и $\delta$:
<center><tex>\frac{\mathrm{P_+}p_+(x)}{\mathrm{P}_-p_-(x)} = \exp\left(\langle\left(c_+(\delta)\theta_+-c_-(\delta)\theta_-\right), x\rangle+b_+(\delta, \theta_+)-b_-(\delta, \theta_-) + \ln\frac{\mathrm{P}_+}{\mathrm{P}_-}\right)</tex></center>,
Рассмотрим получившуюся под экспонентой сумму:
*$\langle\left(c_+(\delta)\theta_+-c_-(\delta)\theta_-\right), x\rangle = \langle w, x\rangle$. Вектор $w$ не зависит от $x$ и является вектором свободных коэффициентов(весов) при константных признаках;
*$b_+(\delta, \theta_+)-b_-(\delta, \theta_-) + \ln\frac{\mathrm{P}_+}{\mathrm{P}_-} = \mathrm{const}\left(x\right)$. Можно считать данные слагаемые аддитивной добавкой к коэффициенту при признаке. Но так как свободные коэффициенты настраиваются по обучающей выборке, вычислять эту добавку не имеет смысла и ее можно включить в $\langle w, x\rangle$.
Таким образом,
<center><tex>\frac{\mathrm{P}\left(+1|x\right)}{\mathrm{P}\left(-1|x\right)} = \mathrm{e}^{\langle w, x\rangle}</tex></center>,
Разделяющая поверхность в байесовском решающем правиле определяется уравнением
<center><tex>\lambda_- \mathrm{P}\left(-1|x\right) = \lambda_+ \mathrm{P}\left(+1|x\right)</tex></center>,
которое равносильно
<center><tex>\langle w, x\rangle - \ln\frac{\lambda_-}{\lambda_+} = 0</tex></center>,
Следовательно, разделяющая поверхность линейна и первый пункт теоремы доказан.
Используя [[Формула полной вероятности|формулу полной вероятности]] получаем следующее равенство
<center><tex>\mathrm{P}\left(+1|x\right) + \mathrm{P}\left(-1|x\right) = \sigma\left(+\langle w ,x\rangle\right) + \sigma\left(-\langle w ,x\rangle\right) = 1</tex></center>,
Откуда следует:<center><tex>\mathrm{P}\left(y|x\right)=\sigma\left(\langle w, x\rangle y\right), y = \{-1, +1\}</tex></center>,
Таким образом, второй пункт теоремы доказан.
}}
