Изменения
Нет описания правки
# Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
# Используя результат из предыдушего задания, докажите, что формальный степенной ряд $\ln\left(\frac{1}{1-s}\right)=s+\frac{1}{2}s^2+\frac{1}{3}s^3+\ldots+\frac{1}{n}s^n+\ldots$ не представим в виде отношения двух полиномов.
# Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется призводящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются отношениями двух полиномов, то таким же свойством обладает и $C(t)$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-x}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x}$ и $\frac{1}{1-3x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1-2x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Обозначим как $Seq^k(A)$ множество последовательностей длины $k$, каждый элемент которого является последовательностью из $k$ объектов. Найдите производящую функцию для $Seq^k(A)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Обозначим как $Seq^{\le k}(A)$ множество последовательностей длины $k$, каждый элемент которого является последовательностью из не более чем $k$ объектов. Найдите производящую функцию для $Seq^{\le k}(A)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Обозначим как $Seq^{\ge k}(A)$ множество последовательностей длины $k$, каждый элемент которого является последовательностью из не менее чем $k$ объектов. Найдите производящую функцию для $Seq^{\ge k}(A)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
# Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.
# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
