36
правок
Изменения
Нет описания правки
|id = Лемма
|statement =
Пусть <tex> List(a_1, a_2, ... \ldots, a_n) </tex> для набора слов <tex>(a_1, a_2, ...\ldots, a_n) </tex> {{---}} язык над алфавитом <tex> \{a_1, a_2, ...\ldots, a_n\} \cup \{1, 2, ...\ldots, n \}</tex>(для простоты будем считать, что <tex> \{a_1, a_2, ...\ldots, a_n\} \cap \{1, 2, ...\ldots, n\} = \varnothing </tex>), каждое слово которого имеет вид <tex> a_{i_1}a_{i_2}...\ldots a_{i_k}i_ki_{k-1}...\ldots i_1 </tex>, где <tex> i_j \in \{1, 2, ...\ldots, n\} </tex>. Тогда <tex> \overline {List(a_1, a_2, ...\ldots, a_n)} </tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора | контекстно-свободный]].
|proof =
Для доказательства построим [[Автоматы с магазинной памятью|МП-автомат]] с допуском по допускающему состоянию:
*<tex> \Sigma = \{a_1, a_2, ...\ldots, a_n\} \cup \{1, 2, ...\ldots, n\} </tex>;
*<tex> \Gamma = \Sigma \cup z_0 </tex>;
*<tex> Q = \{ S_0, S_1, S_2\} </tex>, где <tex> S_0 </tex> {{---}} стартовое состояние, а <tex> S_2 </tex> {{---}} допускающее.
Переходы определим следующим образом:
*<tex> \delta(S_0, a_i, \alpha) = \langle S_0, a_i \alpha \rangle, i \in \{1, 2, ...\ldots, n \}</tex>;*<tex>\delta(S_0, i, a_i) = \langle S_1, \varepsilon \rangle, i \in \{1, 2, ...\ldots, n \}</tex>;
*<tex> \delta(S_0, c, \alpha) = \langle S_2, \alpha \rangle </tex>, для всех других <tex> c </tex> и <tex> \alpha </tex>, не подходящих под первые два правила;
*<tex> \delta(S_1, i, a_i) = \langle S_1, \varepsilon \rangle, i \in \{1, 2, ...\ldots, n\}</tex>;
*<tex> \delta(S_1, c, \alpha) = \langle S_2, \alpha \rangle </tex>, для всех <tex> c </tex> и <tex> \alpha </tex>, кроме случая, когда <tex> c = i </tex> и <tex> \alpha = a_i </tex>;
*<tex> \delta(S_2, c, \alpha) = \langle S_2, \alpha \rangle </tex>, для любых <tex> c </tex> и <tex> \alpha </tex>.
Несложно увидеть, что любое слово, принадлежащее <tex> {List(a_1, a_2, ...\ldots, a_n)} </tex>, оставит данный автомат в состоянии <tex> S_1 </tex>, в противном случае переведет его в допускающее состояние <tex> S_2 </tex>.
}}
Предположим, что данная задача разрешима. Тогда покажем, как с помощью нее разрешить язык [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|ПСП]].
Пусть <tex>(x_1, x_2, ...\ldots, x_n)</tex> и <tex>(y_1, y_2, ...\ldots, y_n) </tex> входные последовательности для ПСП. Пусть <tex> L_1 = List(x_1, x_2, ...\ldots, x_n), L_2 = List(y_1, y_2, ...\ldots, y_n) </tex>. Тогда решение ПСП для последовательностей <tex>(x_1, x_2, ...\ldots, x_n)</tex> и <tex>(y_1, y_2, ...\ldots, y_n) </tex> существует только в том случае, когда <tex> L_1 \cap L_2 \ne \varnothing </tex>. Перейдя к дополнению и применив закон де Моргана, мы получим, что решения для заданных последовательностей существует, только когда <tex> \overline{L_1} \cup \overline{L_2} \ne \Sigma^* </tex>, где <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит для языков <tex> L_1 </tex> и <tex> L_2 </tex>. Но по [[#Лемма|лемме]] <tex> \overline{L_1} </tex> и <tex> \overline{L_2} </tex> {{---}} контекстно-свободные. Так как КС-языки [[Замкнутость КС-языков относительно различных операций|замкнуты относительно объединения]], то язык <tex> \overline{L_1} \cup \overline{L_2} </tex> тоже контекстно-свободный. Построив КС-грамматики для языков <tex> \overline{L_1} \cup \overline{L_2} </tex> и <tex>\Sigma^*</tex> и воспользовавшись предположением, что задача об эквивалентности КС-грамматик разрешима, мы разрешим и язык ПСП. Но язык ПСП неразрешим. Следовательно, мы пришли к противоречию, и наше предположение неверно.
}}
[[Категория: Теория вычислимости]]
