Изменения
Нет описания правки
|definition =
<math>P</math> факторизуется над <math>G</math>, если <math>\mathrm P(X_1, \ldots, X_n) = \prod_{i=1}^n \mathrm P(X_i \mid \operatorname{parents}(X_i)).</math>
}}
{{Теорема
|id = thBolzano
|author=Больцано
|statement=Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность
|proof= Применим способ половинного деления, основанный на принципе вложенных отрезков: если строить систему отрезков путем деления предыдущего отрезка пополам, то получится система вложенных отрезков, и так до бесконечности..
Пересечение всех отрезков {{---}} 1 точка (по свойству системы вложенных отрезков).
Раз <tex> a_n </tex> ограничена, то <tex> \forall n: a_n \in \Delta_0 = [c, d] </tex>
Делим его пополам, тогда в одной из двух половин этого отрезка будет содержаться бесконечно много <tex> a_n </tex>. Назовем его <tex> \Delta_1, |\Delta_1| = \frac 12 |\Delta_0| </tex>
Далее делим <tex> \Delta_1 </tex> на 2 части и называем <tex> \Delta_2 </tex> ту половину, в которой содержится бесконечно много <tex> a_n </tex>. Продолжаем этот процесс до бесконечности.
<tex> \Delta_{n+1} \subset \Delta_n </tex>
<tex> |\Delta_n| \rightarrow 0 </tex>
По принципу вложенных отрезков: <tex> \exists !d^*: d^* \in \bigcap\limits_{n=0}^{\infty} \Delta_n </tex>
<tex> \Delta_n = [c_n, d_n], c_n, d_n \rightarrow d^* </tex>
Построим следующую таблицу:
<tex> (a_{00}, a_{01}, a_{02}, \dots) \in \Delta_0 </tex>
<tex> (a_{10}, a_{11}, a_{12}, \dots) \in \Delta_1 </tex>
<tex> (a_{20}, a_{21}, a_{22}, \dots) \in \Delta_2 </tex>
<tex> \dots </tex>
Каждая последующая строчка составляется из предыдущей. Выбирая подпоследовательность так, чтобы номер следующего элемента был строго больше номера предыдущего выбранного элемента в предыдущей строчке.
Получили подпоследовательность <tex> b_n </tex>:
<tex> c_n \le b_n \le d_n \Rightarrow b_n \rightarrow d^* </tex> (принцип сжатой переменной)
<tex> b_n </tex> — подпоследовательность <tex> a_n </tex> и она сходится.
}}
