Изменения
Нет описания правки
# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.
# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)
# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.
# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.
# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности (суммы по модулю 2) трёх перечислимых множеств.
