390
правок
Изменения
→Корректность алгоритма
Докажем индукцией по исполнению алгоритма.<br/>
<u> ''База индукции:'' </u><br/>
<tex>[S' \rightarrow \cdot S, 0] \in D_0\ </tex>.<br/>
<u> ''Индукционный переход:'' </u> <br/>
Пусть предположение верно для всех списков ситуаций с номерами меньше <tex> j </tex>. Разберемся, в результате применения какого правила ситуация <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> попала в <tex>D_{j}</tex><br/>
1. Включаем по правилу <tex> \mathtt{scan}\ </tex>.<br/>
Это произошло, если <tex> \alpha = \alpha ' a</tex>, <tex>a = w_{j-1}</tex> и <tex> [A \rightarrow \alpha ' \cdot a \beta, i] \in D_{j-1}</tex>.<br/>
По предположению индукции <tex>S' \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta</tex> и <tex>\alpha' \Rightarrow^* w_i...w_{j-2}</tex>,<br/>
тогда в силу <tex>a = w_{j-1}</tex> получаем <tex>\alpha = \alpha ' a \Rightarrow^* w_i...w_{j-2}w_{j-1} = w_i...w_{j-1}\ </tex>.<br/>
Таким образом условия: <tex>S' \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta</tex> и <tex>\alpha \Rightarrow^* w_i...w_{j-1}</tex> выполняются.
2. Включаем по правилу <tex> \mathtt{predict}\ </tex>.<br/>
По построению: <tex> \alpha = \varepsilon </tex> и <tex>i=j</tex>, что автоматически влечет второй пункт утверждения.<br/>
Кроме того <tex>\exists i' \le i</tex> и ситуация <tex>[A' \rightarrow \alpha ' \cdot A \delta ', i'] \in D_i</tex>, из чего по предположению индукции следует <tex>S' \Rightarrow^* w_0...w_{i'-1} A' \delta ''</tex>
</tex>, в итоге <tex> S' \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta</tex>, что нам и требовалось.
3. Включаем по правилу <tex> \mathtt{complete}\ </tex>.<br/>
По построению: <tex> \alpha = \alpha ' A' </tex> и <tex>\exists i', \delta : [A \rightarrow \alpha ' \cdot A' \beta, i] \in D_{i'} \wedge [A' \rightarrow \eta \cdot, i'] \in D_j</tex>.<br/>
Cледовательно <tex>\alpha = \alpha ' A' \Rightarrow^* w_i...w_{i'-1} w_{i'}...w_{j} = w_i...w_{j-1}</tex>, что дает нам второй пункт утверждения, а так как первый пункт следует из индукционного предположения, все хорошо.
<b><tex>\Longleftarrow</tex></b><br/>
В обратную сторону будем доказывать индукцией по суммарной длине вывода <tex>w_0...w_{i-1} A \delta\ </tex> из <tex>S'</tex> и <tex>w_i...w_{j-1}</tex> из <tex>\alpha</tex>. После чего применим
индукцию по длине вывода <tex>w_i...w_{j-1}</tex> из <tex>\alpha</tex>.<br/>
Рассмотрим три случая последнего символа <tex>\alpha</tex>:
Тогда имеем <tex>[A \rightarrow \alpha ' a \cdot \beta, i] \in D_{j}</tex>. Также можно записать <tex>S' \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} A \delta</tex>, как <tex>S' \Rightarrow^* w_0...w_{i-1} w_i...w_{i'-1}B \beta \delta</tex>,
а также <tex>B \rightarrow \eta \wedge \eta \rightarrow w_{i'}...w_{j-1}</tex>.<br/>
Применяя индукцию по второму параметру получим <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, i'] \in D_j\ </tex>, откуда по правилу <tex> \mathtt{complete}</tex> получаем <tex>[A \rightarrow \alpha ' B \cdot \beta, i] \in D_{j}</tex>.
3. <tex>\alpha = \varepsilon </tex>, тогда <tex>i=j</tex>.<br/>
Тогда либо <tex>i = 0 \wedge A = S \wedge \delta = \varepsilon</tex>, что доказывает базу индукции,<br/>
либо вывод можно записать в виде <tex>S' \Rightarrow^* w_0...w{i'-1}w_{i'}...w{i-1} A \delta ' \delta '' = w_0...w_{i-1} A \delta\ </tex> для некоторого правила <tex>(A' \rightarrow w_{i'}...w_{i-1} A \delta ') \in P</tex>. <br/>Отсюда по предположению индукции <tex>[A' \rightarrow \cdot w_{i'}...w_{i-1} A \delta ', i'] \in D_{i'}\ </tex>, что после нескольких применений правила <tex> \mathtt{scan}</tex> приводит к <tex>[A' \rightarrow w_{i'}...w_{i-1} \cdot A \delta ', i'] \in D_{i}\ </tex>,после чего по правилу <tex> \mathtt{predict}\ </tex> получим <tex>[A \rightarrow \cdot \beta, i] \in D_{j}\ </tex>, что и требовалось.
}}
