292
правки
Изменения
→Взаимное исключение
Тогда от ''любого'' сбоя мы через конечное число шагов будем восстанавливаться без консенсусов и прочих развлечений.
== Взаимное исключение ==
Dijkstra Stabilizing Token Ring Algorithm.
Сначала надо переформулировать задачу: мы говорим, что каждый процесс в системе может либо '''иметь привилегию''', либо не иметь.
В произвольном состоянии системы привилегия может быть у произвольного количества процессов, но через конечное число шагов она остаётся только у одного процесса и мы входим в легальное состояние.
Дальше остаёмся только в легальных состояниях.
TODO: а какие сообщения процессы посылают друг другу? Могут ли быть ошибки (наверное, нет)? Может ли система быть асинхронной (наверное, тоже нет)?
Все $N$ процессов будут замкнуты в кольцо, в котором один процесс назван "первым".
У каждого процесса есть состояние — число от 0 до $K-1$, причём $K \ge N$ — параметр алгоритма.
По определению положим, что у процесса есть привилегия, если:
* Он первый и его значение $S$ совпадает со значением $L$ следующего по часовой стрелке процесса.
* Он не первый и его $S$ не совпадает с $L$.
Например, на рисунке ниже толстая граница у выделенного процесса, а жёлтым обозначена привилегия:
[[Файл:distributed-self-stabilization-legal.png|400px]]
Правила перехода в новое состояние:
* Для первого процесса: если была привилегия ($S=L$), то переходим в состояние $(S + 1) \bmod K$
* Для не-первого процесса: если привилегия есть ($S \neq L$), то переходим в состояние $
Пример двух переходов:
[[Файл:Distributed-self-stabilization-step-1.png|400px]]
[[Файл:Distributed-self-stabilization-step-2.png|400px]]
Таким образом, в легальном состоянии привилегия у нас ходит по кругу, как в алгоритме с токеном.
Но там потеря токена была смертельной для алгоритма, а у нас — не смертельна.
=== Доказательство стабилизируемости ===
'''Лемма''': в любом состоянии хотя бы у одного процесса есть привилегия.
В противном случае у нас, с одной стороны, все значения машин равны друг другу (потому что для каждой машины, кроме первой, её значение совпадает со следующей по кругу), а с другой стороны значение первой машины и её соседа должны отличаться, противоречие.
'''Лемма''': что бы не происходило в системе, через $O(N^2)$ шагов в системе первый процесс сделает ход.
'''Доказательство (с лекции)''': если первый процесс не делает ход, то следующий за ним против часовой стрелки процесс 2 сможет сделать максимум один ход: взять себе значение первого процесса.
Процесс 3 после каждого хода процесса 2 может сделать максимум один ход: взять себе значение процесса 2.
То есть процесс 3 может сделать не больше двух ходов (один исходно, один после хода процесса 2).
Аналогично, процесс 4 может сделать не больше трёх ходов, и так далее.
Итого мы получаем, что если первый процесс не делает шаги, то через $O(N^2)$ шагов привилегия полностью исчезнет, чего не бывает.
'''Альтернативное доказательство (проверено рандомом)''': если первый процесс может сделать ход сразу, то всё доказали.
Иначе у него нет привилегии.
Заметим, что если следующий за ним по часовой стрелке процесс 2 либо имеет значение, равное ему, либо отличающееся (тогда он имеет привилегию и сразу делает ход).
Таким образом, через один ход процессы 1 и 2 имеют одинаковые значения.
Аналогично, через два хода процессы 1, 2 и 3 имеют одинаковые значения.
А через $N-1$ шаг все процессы гарантированно имеют одинаковые значения (если первый процесс так и не походил).
Таким образом, через $N-1$ шаг у первого процесса появляется привилегия и он ходит, $N=O(N^2)$.
'''Лемма''': рано или поздно у первого процесса будет уникальное $S$.
'''Доказательство''': все остальные процессы умеют только копировать состояния друг у друга, а первый процесс ходит бесконечно.
Поэтому рано или поздно он перейдёт на состояние, которое не совпадает ни с одним из оставшихся $N-1$ состоянием.
'''Лемма''': через $O(N^2)$ после этого система стабилизируется.
'''Альтернативное доказательство (не с лекции)''': это состояние будет сразу же скопировано на второй процесс, потом сразу же скопировано на третий, и так далее, после чего мы прийдём в состояние, где все значения равны, а оно легальное.
== Поиск остовного дерева ==
