403
правки
Изменения
м
маленькие поправки, -→—
== Текст заголовка ==
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
==Метрика и метрическое пространство==
== Замкнутые множества ==
{{Определение|definition=Множество <tex>F </tex> называется замкнутым в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex> \overline F = X \backslash F </tex> {{--- }} открыто.}}
Применяя закон де Моргана, видим что класс открытых множеств <tex> \tau </tex> двойственен классу замкнутых множеств.
На самом деле, этот факт {{---}} свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:
Пусть <tex> (X, \tau) </tex> {{- --}} ТП, тогда если <tex> \forall a \ne b: \exists G_1, G_2 \in \tau :</tex>
# <tex> G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>
# <tex> a \in G_1; b \in G_2 </tex>
В прямую сторону
|statement=
<tex>F </tex> {{--- }} замкнуто, если оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей. <br><tex>F </tex> {{--- }} замкнуто <tex> \Longrightarrow \forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F </tex>
|proof=<br />
: Пусть <tex> x \notin F, F = \overline G \Rightarrow x \in G = \bigcup\limits_\alpha V \Rightarrow x \in V </tex>
В обратную сторону
|statement=
Если множество <tex>F </tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, то оно замкнуто. <br>Если <tex>\forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F \Longrightarrow </tex> <tex>F </tex> {{- --}} замкнуто
|proof=
Рассмотрим <tex> x \notin F </tex>. Пусть <tex> G = \overline F </tex>. Если <tex> G </tex> {{- --}} открытое, то <tex> F </tex> {{--- }} замкнутое множество (по определению).
Тогда каждый <tex> y \notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром (по определению {{- --}} <tex> G = \bigcup\limits_i V_i </tex> {{--- }} открытое множество), причём, всегда можно выделить такой шар, что <tex> y </tex> является его центром (достаточно положить <tex> r' = r - \rho (x, y) </tex>, где <tex> x </tex> {{--- }} центр шара, в который входит <tex> y </tex>, а <tex> r </tex> {{--- }} его радиус). При этом, <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F = \varnothing </tex>.
Предположим, что это не так, и для какого-то <tex> x \notin F </tex> не найдется такого открытого шара <tex> V(x): x \in V_r(x) , \, V_r(x) \cap F = \varnothing </tex>
: <tex> r_n = \frac 1n </tex>, <tex> \{ x_n \} : x_n \in (F \cap V_{r_n}(x)) </tex>.
: <tex> r_n \rightarrow 0 \Rightarrow x_n \rightarrow x </tex>.
Каждый <tex> x_n \in F, x_n \rightarrow x \Rightarrow \{ x_n \} </tex> {{- --}} сходящаяся последовательность в <tex> F </tex>. Но, по предположению, <tex> F </tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а значит <tex> x \in F </tex>. Получили противоречие, значит <tex> G = \overline F </tex> {{--- }} открытое множество, а значит <tex> F </tex> {{--- }} замкнуто.
}}
== См. также ==
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8B_%D0%BE%D1%82%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Если интересно - аксиомы отделимости]
