74
правки
Изменения
Нет описания правки
|definition = Пусть задана функция <tex>f : V(G) \rightarrow \mathbb{N}</tex>, такая что <tex>\forall~v \in V(G):f(v)\leq \text{deg}(v)</tex>. Тогда остовный подграф <tex>G_f</tex> в котором степень каждой вершины <tex>v</tex> равна <tex>f(v)</tex> называется '''<tex>f</tex>-фактором'''.
}}
[[Файл:1-A-general-graph-G-with-a-3-regular-factor-2-A-general-graph-G-with-an-f-factor (1).png|700px|thumb|centre| Примеры факторов в графе: (1) {{---}} <tex>3</tex>-фактор, (2) {{---}} <tex>f</tex>-фактор (значения <tex>f(v)</tex> указаны возле вершин)]]
== Задача о поиске произвольного <tex>f</tex>-фактора ==
Пусть граф <tex>G</tex> имеет <tex>f</tex>-фактор <tex>G_f</tex>. Построим паросочетание <tex>M</tex> для графа <tex>G^*</tex> следующим образом:
# Для каждого ребра <tex>(u,w)\in G_f</tex> добавим в <tex>M</tex> соответствующее ему ребро из <tex>G^*</tex> . Теперь для каждой вершины <tex>v \in V(g)</tex> <tex>f(v)</tex> вершин из множества <tex>S(v)</tex> покрыты <tex>M</tex> .
# Для каждой вершины <tex>v \in V(g)</tex> пусть <tex>R(v)\subset S(v)</tex> {{- --}} множество вершин еще не покрытых <tex>M</tex>. <tex>R(v)\cup T(v)</tex> является полным двудольным графом, причем размер каждой из долей равен <tex>deg(v)-f(v)</tex>, следовательно этот граф имеет совершенное паросочетание <tex>M_v</tex>. Добавим каждое ребро из <tex>M_v</tex> в <tex>M</tex>.
В результате каждая вершина в <tex>G^*</tex> покрыта <tex>M</tex>, следовательно <tex>M</tex> является совершенным паросочетанием.
}}
Из доказательства напрямую следует, что задача о поиске произвольного для нахождения <tex>f</tex>-фактора графа <tex>G</tex> сводится к поиску совершенного паросочетания достаточно найти совершенное паросочетание в графе <tex>G^*</tex>. Т.к. <tex>G^*</tex> в общем случае не является двудольным, для решения этой задачи можно воспользваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D1%81%D0%B6%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D1%86%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2 Алгоритмом Эдмондса для поиска наибольшего паросочетания].
