109
правок
Изменения
→Доказательство
==Доказательство==
Из того, что класс <tex>\mathrm{BPP}</tex> замкнут относительно дополнения и <tex>\mathrm{co}\Sigma_2 = \Pi_2</tex> следует, что достаточно доказать включение <tex>\mathrm{BPP} \subset \Sigma_2</tex>.
<tex>\mathrm{BPP}</tex> можно определить, как множество таких языков <tex>L</tex>, что <tex>x \in L \Leftrightarrow \exists</tex> «много» вероятностных лент <tex>y: R(x,y)</tex>. <tex>\Sigma_2</tex> определяется, как множество <tex>\{ L \mid x \in L \Leftrightarrow \exists y \forall z R(x, y, z)\}</tex>. Таким образом, необходимо уметь записывать «много» с помощью квантора <tex>\forall</tex>.
Рассмотрим язык <tex>G</tex> — всех слов длины <tex>m</tex> над алфавитом <tex>{0, 1}</tex>, для некоторого <tex>m</tex>, значение которого будет получено позже. Определим операцию <tex>\oplus</tex> над славами из этого языка, как побитовое исключающее или.
Назовем <tex>X</tex>, содержащееся в <tex>G</tex> большим, если существует набор <tex>g_1, g_2, \dots g_k</tex> (значение <tex>k</tex> тоже будет получено позже) такой, что <tex>\bigcup_{i=1}^{k} g_i \oplus X = G</tex>.
Если <tex>k|X| < |G|</tex>, то <tex>X</tex> точное не является большим. Найдем достаточное условие, при котором <tex>X</tex> большой.
Выберем случауно набор <tex>\{g_i\}</tex>.
Для некотрого <tex>y \in G</tex>:
* <tex>P(y \in g_i \oplus X) = P(y \oplus g_i \in X) = \frac{|X|}{|G|}</tex>,
* <tex>P(y \not \in g_i \oplus X) = 1 - \frac{|X|}{|G|}</tex>
* <tex>P(\bigwedge_{i=1}^{k} y \not \in g_i \oplus X) = \left(1 - \frac{|X|}{|G|}\right)^k</tex>
* <tex>P(\exists y \in G \bigwedge_{i=1}^{k} y \not \in g_i \oplus X) = |G|\left(1 - \frac{|X|}{|G|}\right)^k</tex>
Если <tex>|G|\left(1 - \frac{|X|}{|G|}\right)^k < 1</tex>, то существует набор <tex>\{g_i\}</tex>, что для любого <tex>y</tex> <tex>\bigwedge_{i=1}^{k} y \not \in g_i \oplus X</tex>, а из этого следует, что <tex>X</tex> большой.
Рассмотрим язык <tex>L \in \mathrm{BPP}</tex>.
