Изменения
→Локальная лемма Ловаса
, j \notin M(i)</tex>. Это означает, что для любого события <tex>B</tex>, выражаемого через множество событий <tex>\{ A_j, j \notin M(i) \}</tex>, события <tex>A_i</tex> и <tex>B</tex> независимы. Через <tex>\bar{A}</tex> будем обозначать дополнение события <tex>A</tex>. <br>
'''Формулировка теоремы:'''<br>
Предположим, что нашлись такие числа <tex>x_i \in (0, 1)</tex>, что для всех <tex>i</tex> выполняется неравенство <tex>P(A_i) \leq x_i\prod_{j \in M(i)}(1-x_j)</tex>. Тогда <tex>P(\bigcap \bar{A_i}) \geq \prod(1-x_i)</tex> - в частности, что значит, что с положительной вероятностью ни одно одного из событий <tex>A_i</tex> не происходит.
|proof= Докажем более сильное утверждение: если <tex>I = I_1 \sqcup I_2</tex>, где $I_1, I_2$ - множества
индексов, то
</tex><br>
Иногда используется именно такая версия локальной леммы. <br>
В случае, когда оценки на вероятности всех событий совпадают, получаем из леммы можно получить следующее утверждение.:
{{Теорема
|id=thLocalLovas
|about=Симметричная версия локальной леммы
|statement=Предположим, что <tex>e \cdot p \cdot (d + 1) \leq 1,</tex> каждое событие $A_i$ происходит с вероятностью не больше, чем $p$ и <tex>|M(i)| \leq d</tex> для всех $i$. Тогда с положительной вероятностью ни одно событие одного события $A_i$ не происходит.|proof=Выберем <tex>x_i = x = 1 / (d + 1)</tex>. Тогда <tex>(1 − x)^d \geq 1 / e</tex> - это , что следует, например, из определения числа $e$. Следовательно , <tex>p \leq x(1 − x)^d</tex>, так что выполняются условия локальной леммы.
}}
