1302
правки
Изменения
→Интегрируемость непрерывного преобразования интегрируемой функции
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>m = \inf\limits_{x \in [c; d]} f(x)</tex> и <tex>M = \sup\limits_{x \in [c; d]}</tex>
Тогда <tex>\omega(f, [c; d]) = M - m</tex>
|proof=
В силу <tex>m \leq f(x')</tex>, <tex>f(x'') \leq M</tex>,
<tex>|f(x'') - f(x')| \leq M - m</tex>, значит, <tex>\omega(f, [c; d]) \leq M - m</tex>
Докажем обратное неравенство, используя определение граней.
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists x', x'' \in [c; d]: \ f(x') < M m + \varepsilon,\ M - \varepsilon < f(x'')</tex>
Отсюда, очевидно, следует, что тогда
{{Теорема
|statement=
Пусть на <tex>[a; b]</tex> задана интегрируемая функция <tex>f</tex>, <tex>f(x) \in \mathcal {R}, f(x) \in [A; B]</tex>.
На отрезке <tex>[A; B]</tex> задана непрерывная функция <tex>F \colon : [A;B] \to \mathbb{R}</tex>.
Тогда <tex>F \circ f \in \mathcal{R}(a; b)</tex>
|proof=
В силу условия теоремы сложная функция вернакорректно определена, так как элементы внутренней функции лежат в области, определённой внешней.
Тогда нам нужно доказать, что <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0 \Rightarrow \omega(F \circ f, \tau) \to 0</tex>
<tex>\overline{x}_k, \tilde{x}_k \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>)
<tex>\leq</tex>(из свойств модуля непрерывности) <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega(F, |f(\overline{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \Delta x_k</tex>
<tex>\leq</tex>(по теореме о выпуклой мажоранте) <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega^*(F, |f(\overline{x}_k - f(\tilde{x}_k))|) \frac{\Delta x_k}{b - a}</tex>
(так как <tex>\sum\limits_{k =0}^{n - 1} \frac{\Delta x_k}{b - a} = 1</tex>, а <tex>\omega^*</tex> выпукла вверх)
<tex>\leq (b - a) \omega^*(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overline{x}_k) - \tilde{x}_k| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex>
<tex>\leq 2(b - a) \omega(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overline{x}_k) - \tilde{x}_k| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex>
<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |F(f(\overline{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| \Delta x_k</tex>
<tex>\leq 2(b - a)\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau))</tex>
