Изменения

Пусть <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, <tex> degQ(Qt) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k</tex>, <tex> deg(P) < k</tex>. <!--------<tex> deg(Q) = k</tex>(да, я подумаю, как красиво исправить <tex> deg(Q) = k</tex> на <tex>Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k</tex>. просто страшно сносить дальнейшие рассуждения, где используются <tex>q_i</tex> :( ... либо же буду рада любым идеям :3).----->

Разобьём полученную сумму на две: <tex>p_n = \sum\limits_{i = 0}^{k} a_{n-i}\cdot q_{i} + \sum\limits_{i = k+1}^n a_{n-i}\cdot q_{i}</tex>. Так как <tex> Q(t)</tex> известно, можем определить, чему равны эти суммы. Для первой выполняются равенства: <tex> q_0 = 1</tex>, <tex> q_i = -c_i</tex> для всех <tex> i</tex> за исключением нуля. Вторая же компонента равна нулю, поскольку <tex>deg(Q) = k</tex>. Тогда <tex>p_n = \sum\limits_{i = 0}^k a_{n-i} \cdot q_{i} = 0</tex>.

<tex> \sum\limits_{i = 0}^k a_{n-i} \cdot q_\(-c_{i} \) = a_n \cdot q_0 + a_{n-1} \cdot q_1 \(-c_1\) + \ldots + a_{n-k} \cdot q_k \(-c_k\) = a_n + - a_{n-1} \cdot q_1 + c_1 - \ldots + - a_{n-k} \cdot q_k c_k = 0</tex>.

Перенесём все слагаемые, кроме <tex>a_n \cdot q_0</tex>, вправо:

<tex> a_n = -a_{n-1} \cdot q_1 -c_1 + a_{n-2} \cdot q_2 - c_2 + \ldots - + a_{n-k} \cdot q_kс_k</tex>.

Видим, что <tex>a_n</tex> {{---}} коэффициент член линейной рекуррентной последовательности, где роли заданной коэффициентами <tex>c_i</tex> играют <tex>-q_i</tex> при каждом <tex>i \in \{1c_1,2c_2,\ldots k\}, c_k</tex>, причём это выполнено для всех <tex>n \geqslant k </tex>, так как индекс <tex>n</tex>, удовлетворяющий данному условию, выбирался произвольно.