693
правки
Изменения
→Вычисление коэффициентов ряда \dfrac{1}{(1-t)^2} с помощью теоремы о связи рекуррентности и рациональности
Таким образом, <tex>F(t) = \dfrac{1}{1 - t - t^2}</tex>.
=== Вычисление коэффициентов ряда <tex>\dfrac{1}{(1-t)^2}</tex> с помощью теоремы о связи рекуррентности и рациональности ===
<!---Известно, что <tex>\dfrac{1}{(1-t)^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)\cdot t^n}</tex>.--->Найдём коэффициенты ряда <tex>\dfrac{1}{(1-t)^2}</tex> через построение рекуррентного соотношения. Имеем:<tex>P(t)=1</tex>,:<tex>Q(t)=(1-t)^2 = 1 - 2t + t^2</tex>.Второе равенство позволяет найти <tex>k</tex> и коэффициенты <tex>с_1, c_2 \ldots c_k</tex>. В нашем примере <tex>k=2</tex>, <tex>c_1=2</tex><tex>c_2=-1</tex>. Зная, что <tex>P(t)=A(t)\cdot Q(t) \mathrm{\ mod\ }t^2</tex>, найдём первые два коэффициента ряда, соответствующего функции <tex>A(t)</tex>. Подставим в равенство известные значения::<tex>1 = (a_0 + a_1t)\cdot(1 - 2t)</tex>. Отсюда <tex>a_0=1</tex>, <tex>a_1=2</tex>. Итак, коэффициенты <tex>A(t)</tex> задаются соотношением:<tex>a_0=1</tex>, <tex>a_1=2</tex>,:<tex>a_n=2\cdot a_{n-1} - a_{n-2},\ n\geq 2</tex>. Известно, что <tex>\dfrac{1}{(1-t)^2} = \sum\limits_0limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)\cdot t^n}</tex>. Такой результат можно получить, например, продифференцировав ряд функции <tex>\dfrac{1}{1-t}</tex>. Проверим, что нахождение рекуррентного соотношения для исходной дроби даёт такой же результат, то есть для всех <tex>n</tex> выполняется <tex>a_{n}=n+1</tex>.* Для начальных значений равенства выполнены: <tex>a_0=1=0+1</tex>, <tex>a_1=2=1+1</tex>;<!------*: Чтобы узнать, работает ли формула для <tex>n</tex>, больших <tex>2</tex> найдём <tex>a_2</tex>: <tex>a_2 = 2a_1 - a_0 = 2\cdot 2 - 1 = 3 = 2+1</tex>.-------->* Будем считать предыдущие ''утверждения (не нравится мне это слово, выкладки тоже)'' базой индукции. То есть существует такое число <tex>n\geq 1</tex>, что до него проверяемая формула работала. Для следующего числа <tex>n+1</tex> верно <tex>a_{n+1}=2\cdot a_{n} - a_{n-1}</tex>. Предыдущие значения известны. Они подчинялись равенству <tex>a_{n}=n+1</tex>. Раскроем формулу:*: <tex>a_{n+1}=2\cdot a_{n} - a_{n-1} = 2\cdot (n+1) - n = 2\cdot n + 2 - n = n+2 = (n+1) + 1</tex>.
<!--------------
