Изменения
Нет описания правки
В комбинаторике, особенно в аналитической комбинаторике, [https://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_method_(combinatorics) символьный метод] - это метод подсчета [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Комбинаторные_объекты комбинаторных объектов]. Он использует внутреннюю структуру объектов для получения формул их [[Производящая функция|производящих функций]]. Этот метод в основном связан с [https://en.wikipedia.org/wiki/Philippe_Flajolet Филиппом Флайоле] и подробно описан в части A его книги с [https://ru.wikipedia.org/wiki/Седжвик,_Роберт Робертом Седжвиком] "Аналитическая комбинаторика"<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_Combinatorics "Аналитическая комбинаторика"]</ref>. ==Базовые определения=Непомеченные комбинаторные объекты=
Каждый комбинаторный объект состоит из атомов.
У атомов определен вес <tex dpi="130">w</tex>. Вес объектов равен сумме весов составляющих его атомов.
{{Определение|definition=Считающей последовательностью называется последовательность <tex dpi="130">w(\bullet)left \{ a_0, a_1, ..., a_n \right \}</tex>, где <tex dpi=1"130">a_i</tex> {{---}} количество объектов веса <tex dpi="130">i</tex>.}}
Обозначим <tex dpi="130350">w(\circ)[t_n]</tex> как оператор взятия <tex dpi=0"350">n</tex>-того коэффициента производящей функции.
{{Определение
|definition=
}}
=Непомеченные комбинаторные объекты= Введём атомы <tex dpi="350">\bullet</tex> и <tex dpi="350">\circ</tex> следующим образом: <tex dpi="130">w(\bullet)=1</tex> <tex dpi="130">w(\circ)=0</tex> Производящую функцию класса <tex dpi="130">A</tex> обозначим <tex dpi="130">A(t)=\sum_{i=0}^{\infty }a_i t^i</tex>, если <tex dpi="350">\{a_i\}</tex> {{---}} считающая последовательность этого класса.
{{Определение
Считающая последовательность: <tex dpi="130">\left \{ 0, 1, 0, ..., 0 \right \}</tex>.
Производящая функция последовательности: <tex dpi="130">Z(t)=t</tex>.
Считающая последовательность: <tex dpi="130">\left \{ 1, 0, ..., 0 \right \}</tex>.
Производящая функция последовательности: <tex dpi="130">\varepsilon(t)=1</tex>.
==Объединение комбинаторных классов==
{{Определение
|definition=
Объединением комбинаторных классов <tex dpi="350">A</tex> и <tex dpi="350">B</tex> называется комбинаторный класс <tex dpi="350">C=A \cup B=A+B=\left \{ c \mid c \in A \vee c \in B \right \}</tex>, состоящий из элементов обоих классов, причем равные объекты разных классов объявляются разными.
}}
<tex dpi="350">c_n=a_n+b_n</tex>
<tex dpi="350">C(t)=\left ( \sum_{i=0}^{\infty}a_i \cdot t^i \right ) + \left ( \sum_{i=0}^{\infty}b_i \cdot t^i \right ) = \sum_{i=0}^{\infty}(a_i + b_i)\cdot t^i =A(t)+B(t)</tex>
==Пары комбинаторных классов (декартово произведение комбинаторных классов)==
{{Утверждение
|statement=<tex dpi="350">C(t)=A(t) \cdot B(t)</tex>|proof=Верно, потому что коэффициенты производящей функции описываются описываются равенством выше)<ref>[[Арифметические действия с формальными степенными рядами]]</ref>
}}
==Последовательности комбинаторных классов==
===Ограниченная конструкция===
{{Определение
'''Переход'''.
:Пусть для <tex dpi="350">k=n</tex> верно <tex dpi="350">Seq_n(A)(t)=A(t)^n</tex>. Докажем для <tex dpi="350">k=n+1</tex>: <tex dpi="350">Seq_{n+1}(A)(t)=A(t)^{n+1}</tex>. Рассмотрим <tex dpi="350">Seq_{n+1}(A)</tex> как <tex dpi="350">Pair(Seq_n(A), A)</tex>. Тогда <tex dpi="350">Seq_{n+1}(A)(t)=A(t)^n \cdot A(t)=A(t)^{n+1}</tex>.
}}
===Неограниченная конструкция===
{{Определение
|definition=
Последовательностью ''(всех возможных длин)'' объектов из <tex dpi="350">A</tex> называется <tex dpi="350">B=Seq(A)=\sum_{i=0}^{\infty}Seq_i(A)</tex>.
}}
'''Ограничение:''' <tex dpi="350">a_0=0</tex>(также можно встретить <tex dpi="350">A_0=0</tex>). Этому есть как техническое, так и комбинаторное объяснение.
* Технически, если <tex dpi="350">a_0>1</tex>, то мы будем делить на отрицательное число; если <tex dpi="350">a_0=1</tex>, то на функцию, у которой свободный член <tex dpi="350">0</tex>, {{---}} что формализм производящих функций сделать не позволяет.
* Комбинаторное объяснение заключается в том, что если объектов веса ноль более 0, то мы можем создать бесконечное количество последовательностей веса 0 (комбинируя такие объекты), а мы хотим работать с конечными количествами последовательностей.
** <tex dpi="350">Seq_{\geq 3}=Pair(Seq_3(A), Seq(A))=Seq(A)-Seq_0(A)-Seq_1(A)-Seq_2(A)</tex>
** <tex dpi="350">Seq_{\geq 3}(t)=Pair(Seq_3(A), Seq(A))(t)=A(t)^3 \cdot \frac{1}{1-A(t)}=\frac{A(t)^3}{1-A(t)}=(Seq(A)-Seq_0(A)-Seq_1(A)-Seq_2(A))(t)=\frac{1}{1-A(t)}-0-A(t)-A(t)^2</tex>
* Последовательности чётной длины:
** <tex dpi="350">Seq_{\vdots 2}(A)=Seq(Pair(A, A))</tex>
** <tex dpi="350">Seq_{\vdots 2}(A)(t)=Seq(Pair(A, A))(t)=\frac{1}{1-A\left (t)^2\right )}</tex>
==Комбинаторный объект класс "Натуральные числа"==
Вес числа равен его значению. Каждое натуральное число встречается 1 раз.
<tex dpi="350">w(n)=n</tex>
Класс "Натуральные числа" принято обозначать <tex dpi="350">I</tex>.
Считающая последовательность {{---}}
<tex dpi="350">c_n=\left\{\begin{matrix}
0, n=0\\
\end{matrix}\right.</tex>
{{Утверждение|statement=<tex dpi="350">I(t) = \frac{t}{1 - t}</tex>|proof=Производящей функцией последовательности из <tex dpi="350">1</tex> явлется <tex>Seq(\{1\})=\frac{1}{1-t}</tex>.
Чтобы получить производящую функцию класса натуральных чисел, произведем сдвиг вправо по правилам работы со степенными рядами:<tex dpi="350">Seqt \cdot I(It)= t \cdot \frac{1}{1 - t} = \frac{t}{1-t}</tex> {{---}} упорядоченное разбиение на слагаемые.
===Применение=== <tex dpi="350">Seq(I)</tex> {{---}} упорядоченное [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|разбиение натуральных чисел на слагаемые]]. Тогда производящая функция {{---}} <tex dpi="350">Seq(I)(t)=\frac{1}{1-\frac{t}{1-t}}=\frac{1-t}{1-2t}=\frac{1}{1-2t}-\frac{t}{1-2t}</tex>
<tex dpi="350">\left [ t^n \right ] \frac{1-t}{1-2t} = \left\{\begin{matrix}
\\
1, n = 0
\end{matrix}\right.</tex>, потому что <tex dpi="350">\frac{1}{1-2t}</tex> соответсвует ряду степеней <tex dpi="350">2</tex>, а <tex dpi="350">\frac{1}{1-2t}</tex> {{---}} ряду <tex dpi="350">2^{x-1}</tex>.
==Множества==
{{Определение|definition=Множества <tex dpi="350">Set(A)</tex> {{---}} последовательности без повторений и порядка элементов.}}{{Утверждение|statement=<tex dpi="350">Set(A)=\prod_{\alpha \in A}\left(\varepsilon+\left \{ \alpha \right \}\right )</tex>|proof=Докажем по индукции по потенциальным элементам множеств <tex dpi="350">A</tex>. '''База''' <tex dpi="350">A=\varnothing</tex> <tex dpi="350">Set(\varnothing)=\varepsilon=\prod_{\alpha\in A}\varepsilon</tex> '''Переход'''
Пусть верно для множества <tex dpi="350">A_1</tex>, докажем, что будет верно и для множества и <tex dpi="350">A_1+\{\alpha\}</tex>, где <tex dpi="350">\alpha\in A\setminus A_1</tex>В множестве каждый элемент может либо присутствовать, либо отсутствовать, поэтому <tex dpi="350">Set(A_1+\{\alpha\})=Set(A_1)+Set(A_1)\times\{\alpha\}=Set(A_1)(\varepsilon + \alpha)</tex>.}} ====Пример:====
* <tex dpi="350">A = \left \{ \alpha, \beta, \gamma \right \}</tex>
* <tex dpi="350">Set(A) = \left \{ \varnothing, \left \{ \alpha \right \}, \left \{ \beta\right \}, \left \{ \gamma \right \}, \left \{ \alpha, \beta\right \}, \left \{ \alpha, \gamma \right \}, \left \{ \beta, \gamma \right \}, \left \{ \alpha, \beta, \gamma \right \} \right \}</tex>
<tex dpi="350">Set(A)(t)=\prod_{\alpha \in A}\left(\varepsilon+\left \{ \alpha \right \}\right )(t)=\prod_{\alpha \in A}(1+t^{w(\alpha)})=\prod_{n=0}^{\infty}(1+t^n)^{a_n}</tex>
==Мультимножества==
{{Определение|definition=Мультимножества <tex dpi="350">MSet(A)</tex> {{---}} последовательности с повторениями, но без порядка элементов.}}Как и с <tex dpi="350">Seq(A)</tex> существует ограничение на <tex dpi="350">A</tex>: <tex dpi="350">a_0=A(0)=0</tex>.{{Утверждение|statement=<tex dpi="350">MSet(A)=\prod_{\alpha \in A}Seq(\left \{ \alpha \right \})</tex>|proof=Докажем по индукции по потенциальным элементам множеств <tex dpi="350">A</tex>.
Пусть верно для мультимножества <tex dpi="350">A_1</tex>, докажем, что будет верно и для мультимножества и <tex dpi="350">A_1+Seq_{\geq1}(\{\alpha\})</tex>, где <tex dpi="350">\alpha\in A\setminus A_1</tex><tex dpi="350">MSet(AA_1+\{\alpha\})=MSet(A_1)+MSet(A_1)\times\{\alpha\}\times Seq_{\geq 1}(\prod_{\alpha \in A})=MSet(A_1)\cdot Seq(\left \{ \alpha \right \})</tex>.}}
<tex dpi="350">MSet(A)(t)=\prod_{\alpha \in A}Seq(\left \{ \alpha \right \})(t)=\prod_{\alpha \in A}\frac{1}{1-t^{w(\alpha)}}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1-t^n}\right)^{a_n}</tex>
=Помеченные объекты=
Как можно заметить, для некоторых операторов, например, <tex dpi="350">Set</tex> и <tex dpi="350">MSet</tex> не существует замкнутых формул, поэтому их объекты удобнее обозначать как помеченные. С помеченными объектами используется [https://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function#Exponential_generating_function_(EGF) экспоненциальная производящая функция].
Напомним, что если <tex dpi="350">\left \{ a_i \right \}</tex> {{---}} считающая последовательность, то производящие функции выражаются следующим образом:
{| class="wikitable"
|-
| Обычная || <tex dpi="350">ogf(t) = \sum_{i=0}^{\infty}a_it^i</tex>
|-
| Экспоненциальная || <tex dpi="350">egf(t) = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_it^i}{n!}</tex>
|}
Далее под производящей функцией будет подразумеваться и использоваться экспоненциальная производящая функция, потому что формулы с ней более просты в работе.
==Свойства экспоненциальной производящей функции==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi="350">A(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">\{ a_0, a_1, ..., a_n, ... \}</tex>, тогда <tex dpi="350">A'(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">B=\{ a_1, a_2, ..., a_n, ... \}</tex>
|proof=
<tex dpi="350">B(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{i+1}t^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{i+1}t^n(n+1)}{(n+1)!}=A'(t)</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex dpi="350">\left (\int A(t) \right )'=A(t)</tex><ref>[https://youtu.be/UwOjanKAMt0?list=PLrV7qfjOKnis2aCBAVcirxr_oxhNKoO6e&t=2131 Youtube {{---}} Помеченные объекты]</ref>
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex dpi="350">A(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">\{ a_0, a_1, ..., a_n, ... \}</tex>, тогда <tex dpi="350">\int A(t)</tex> {{---}} экспоненциальная производящая функция последовательности <tex dpi="350">B=\{ 0, a_0, a_1, a_2, ..., a_n, ... \}</tex><ref>[https://youtu.be/UwOjanKAMt0?list=PLrV7qfjOKnis2aCBAVcirxr_oxhNKoO6e&t=2131 Youtube {{---}} Помеченные объекты]</ref>
}}
{{Утверждение
|statement=С точки зрения комбинаторики композиция производящих функций <tex dpi="350">A</tex> и <tex dpi="350">B</tex> означает подстановку вместо каждого возможного атома в <tex dpi="350">A</tex> всех объектов из класса <tex dpi="350">B</tex>.
<tex dpi=Помеченные объекты"350">A \left ( B \left ( t \right ) \right )=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B(t)^n\cdot a_n}{n!}</tex>
}}
==Помеченные объекты== Помеченные комбинаторные объекты отличаются тем, что все атомы имеет разные значки, а именно {{---}} если ; Если вес объекта равен <tex dpi="350">n</tex>, то все атомы пронумерованы различными целыми числами от <tex dpi="350">1</tex> до <tex dpi="350">n</tex>.
<tex dpi="130">w(①)=1</tex>
<tex dpi="130">w(\circ)=0</tex>
{{Определение
<tex dpi="130">Z=\left \{ ① \right \}</tex>
<tex dpi="130">Z(t)=t</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Комбинаторным объектом <tex dpi="130">\varepsilon</tex> называется комбинаторный объект, состоящий из одного атома веса <tex dpi="130">0</tex>.
<tex dpi="130">\varepsilon=\left \{ \circ \right \}</tex>
<tex dpi="130">\varepsilon(t)=1</tex>
}}
==Циклы==
{{Определение
|definition=
{{Определение|definition=Циклы <tex dpi="130350">A=Cycle(B)=\varepsilonsum_{k=\left \0}^{ \circ \right \infty}Cycle_k(B)</tex>.
}}
<tex dpi="350">Cycle(A)(t)=\sum_{k=0}^{\infty}Cycle_k(A)(t)=0+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{A(t)^k}{k}=-ln \left (1+\left (-A(t)\right ) \right )=-ln \left (1-A(t) \right )=ln\left (\frac{1}{1-A(t)}\right )</tex> (Разложение натурального логарифма в ряд Тейлора)
=См.также=
*[[Конструирование комбинаторных объектов и их подсчёт]]
*[[Функция Эйлера]]
*[[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа]]
*[[Задача об ожерельях]]
*[[Числа Каталана]]
*[[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]
*[[Подсчет деревьев]]
=Источники информации=
*[https://youtu.be/J2L-vdytqC0?list=PLrV7qfjOKnis2aCBAVcirxr_oxhNKoO6e Artem Vasilyev {{---}} Descrete maths lectures, unmarked objects]
*[https://youtu.be/UwOjanKAMt0?list=PLrV7qfjOKnis2aCBAVcirxr_oxhNKoO6e Artem Vasilyev {{---}} Descrete maths lectures, marked objects]
*[https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Конструирование_комбинаторных_объектов_и_их_подсчёт Викиконспекты {{---}} Конструирование комбинаторных объектов и их подсчёт]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_method_(combinatorics) Wikipedia {{---}} Symbolic method]