Изменения
→Доказательство правильности
===Доказательство правильности===
*Эффективность: Рассмотрим ряд <tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k (k+1) </tex>. Покажем, что его сумма равна <tex> \frac 14 </tex>. <tex> ?\exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k=0}^n (-1)^k(k+1)t^k </tex> Проверим существование этого предела, свернув сумму. <tex> S_n(t) = \sum\limits_{k=0}^n (-1)^k(k+1)t^k </tex> Проинтегрируем почленно, что возможно, поскольку эта сумма состоит из конечного числа слагаемых. <tex> \int\limits_0^x S_n(t)dt = \sum\limits_{k=0}^n \int\limits_0^x (-1)^k t^{k+1} dt = x \frac{1 - (-x)^{n+1}}{1 + x} </tex> <tex> S_n(t) = (t \frac {1 - (-t)^{n+1}} {1 + t})' = \frac{1 - (-t)^{n-1}}{1 + t} + t * \frac{(n + 1)(-t)^n(1 + t) - (1 - (-t)^{n+1})}{(1 + t)^2} \xrightarrow[n \rightarrow \infty, 0 < t < 1]{} \frac 1{1 + t} - \frac t{(1 + t)^2} </tex> <tex> f(t) = \frac 1{1+t} - \frac t{(1+t)^2} \xrightarrow[t\to 1-0]{} \frac 14 </tex> Итак, мы показали, что существуют ряды, суммирующиеся методом Абеля, но не суммирующиеся методом средних арифметических. *Линейность - этого метода очевидна из определенияарифметики предела. *Перманентность: Далее мы докажем более сильное утверждение (теорема Фробениуса): <tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k = S </tex> (с.а.) <tex> \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k = S </tex> (A), и, так как мы ранее доказали перманентность метода средних арифметических, то перманентность Абеля автоматически следует из этого. Однако, получим эти результаты отдельно. <tex> 0 < t < 1 </tex>, Сходится ли <tex> \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n t^n </tex>, при условии, что <tex> \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n = S </tex> - сходится? Рассмотрим <tex> \sum\limits_{n=k}^{k+p} a_n t^n \xrightarrow[k, p \to \infty]{} 0 </tex>. Если это правда, что и ряд <tex> \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n t^n </tex> сходится по критерию Коши сходимости рядов. <tex> a_n = S_n - S_{n-1} </tex> <tex> \sum\limits_{n=k}^{k+p} a_n t^n = \sum\limits_{n=k}^{k+p}S_n t^n - \sum\limits_{n=k}^{k+p} S_{n-1} t^n = \sum\limits_{n=k}^{k+p} S_n t^n - \sum\limits_{n=k-1}^{k+p-1} S_n t^{n+1} = S_{k+p} t^{k+p} - S_{k-1} t^{k-1} + \sum\limits_{n=k}^{k+p-1} S_n (t^n - t^{n+1}) \qquad (*) </tex>
<tex> t > 0 \Rightarrow t^n > 0, M = \sup\limits_{n \in \mathbb Z} S_n </tex> <tex> |\sum\limits_{n=k}^{k+p} a_n t^n| \le |S_{k+p}|t^{k+p} + |S_{k-1}|t^k + M \sum\limits_{j=k}^{k+p-1}(t^j-t^{j+1}) \leM t^{k+p} + M t^k + M (t^k - t^{k+p-1}) \xrightarrow[k,p \to \infty]{} 0 </tex> Итак, <tex> \forall t: 0 < t < 1 \Rightarrow \exists f(t) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n t^n </tex> В <tex> (*Эффективность) </tex> положим <tex> k = 0 </tex> : <tex> \sum\limits_{k=0}^p a_n t^n = S_p t^p + \sum\limits_{j=0}^{p-1} S_j(t^j - t^{j+1}) </tex>. Первое слагаемое стремится к 0: <tex>p \to \infty \Rightarrow S_p \to S, \\ f(t) = \sum\limits_{j=0}^{\infty} S_j(t^j - t^{j+1}) </tex> <tex> \sum\limits_{j=0}^{\infty} (t^j - t^{j+1}) = 1 </tex> Тогда <tex> S </tex> можно записать как <tex> S = \sum\limits_{j=0}^{\infty} S (t^j - t^{j+1}) </tex> <tex> f(t) - S = \sum\limits_{j=0}^{\infty} (S_j - S)(t^j - t^{j+1}) </tex> Определение предела для <tex> S_j: \\ \forall \varepsilon > 0: \exists N: \forall n > N:|S_n - S| \le \varepsilon </tex> <tex> |f(t) - S| \le |\sum\limits_{j=0}^N (S_j - S)(t^-t^{j+1})| + \sum\limits_{j=N+1}^{\infty} |S_j - S|(t^-t^{j+1}) </tex>
