Изменения

|definition='''Биномиальное дерево <tex>B_k</tex>''' (англ. ''binomial tree'') {{---}} [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]], определяемое для каждого <tex>k = 0, 1, 2, \dots </tex> следующим образом: <tex>B_0</tex> {{--- }} дерево, состоящее из одного узла высоты 0, то есть состоит из одного узла; <tex>B_k</tex> состоит из двух биномиальных деревьев <tex>B_{k-1}</tex>, связанны связанных вместе таким образом, что корень одного из них является крайним левым дочерним узлом корня второго дерева.}}''' == Свойства биномиальных деревьев. '''== {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n </tex> вершинамиимеет <tex>2^k</tex> узлов.|proof=Докажем по индукции:*База <tex>k = 1</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: Так как в дереве порядка <tex>k+1</tex> вдвое больше узлов, чем в дереве порядка <tex>k</tex>, то дерево порядка <tex>k+1</tex> имеет <tex>2^k\cdot 2 = 2^{k+1}</tex> узлов;. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет <tex>2^k</tex> узлов.}} {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет высоту <tex>k</tex>.|proof=Докажем по индукции: База <tex>k = 1</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: *Так как в дереве порядка <tex>k+1</tex> высота больше на <tex>1</tex> (так как мы подвешиваем к текущему дереву дерево того же порядка), чем в дереве порядка <tex>k</tex>, то дерево порядка <tex>k+1</tex> имеет высоту <tex>k + 1</tex>. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет высоту <tex>k;</tex>. }} {{Утверждение*|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет ровно <texdpi = "165">{k\choose i}</tex> узлов на высоте <tex>i </tex>.|proof=Докажем по индукции: База <tex>k = 01</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: Рассмотрим <tex>i</tex> уровень дерева <tex>B_{k+1}</tex>. Дерево <tex>B_{k+1}</tex> было получено подвешиванием одного дерева порядка <tex>k</tex> к другому. Тогда на <tex>i</tex> уровне дерева <tex>B_{k+1}</tex> всего узлов <tex dpi = "165"> {k\choose i} </tex> <tex>+</tex> <tex dpi = "165">{k\choose {i - 1}}</tex>, 2так как от подвешенного дерева в дерево порядка <tex>k+1</tex> нам пришли узлы глубины <tex>i-1</tex>. То для <tex>i</tex>-го уровня дерева <tex>B_{k+1}</tex> количество узлов <tex dpi = "165"> {k\choose i}</tex> <tex>+</tex> <tex dpi = "165">{k\choose {i - 1}}</tex> <tex>=</tex> <tex dpi = "160">{{k + 1}\choose i} </tex>. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет ровно <tex dpi = "165"> {k\dotschoose i}</tex> узлов на высоте <tex>i</tex>;.}} {{Утверждение*|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет корень степени <tex>k</tex>; степерь степень всех остальных вершин меньше степени корня биномиального дерева. Кроме того, если дочерние узлы ;|proof=Так как в дереве порядка <tex>k+1</tex> степень корня пронумеровать слева направо числами больше на <tex> k - 1</tex>, чем в дереве порядка <tex>k - 2, \dots</tex>, а в дереве нулевого порядка степень корня <tex>0</tex>, то i-й дочерний узел корня является корнем биномиального дерево порядка <tex>k</tex> имеет корень степени <tex>k</tex>. И так как при таком увеличении порядка (при переходе от дерева порядка <tex>k</tex> к <tex>B_ik+1</tex>) в полученном дереве лишь степень корня возрастает, то доказываемый инвариант, то есть степень корня больше степени остальных вершин, не будет нарушаться. }} {{Утверждение*|statement=В биномиальном дереве <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами максимальная степень произвольного узла равна <tex>\log n</tex>.|proof=Докажем это утверждение для корня. Степень остальных вершин меньше по предыдущему свойству. Так как степень корня дерева порядка <tex>k</tex> равна <tex>k</tex>, а узлов в биномиальном этом дереве с <tex>n узлами равна = 2^k</tex>, то прологарифмировав обе части получаем, что <tex>k=O(\lg (log n)</tex>, то степень произвольного узла не более <tex>\log n</tex>.}} = Биномиальная куча=

'''Биномиальная пирамида Hкуча''' (англ. ''binomial heap'' {{---}} ) представляет собой множество биномиальных деревьев, которые удовлетворяют следующим свойствам '''биномиальных пирамид'''.:*Каждое каждое биномиальное дерево в Н куче подчиняется свойству '''[[Двоичная куча|неубывающей пирамидыкучи]]''': ключ узла не меньше ключа его родительского узла (упорядоченное в соответствии со свойсвом свойством неубывающей прирамиды кучи дерево).,* Для для любого неотрицательного целого <tex>k </tex> найдется не более одного биномиального дерева Н, чей корень имеет степень K<tex>k</tex>.}} == Представление биномиальных куч ==Поскольку количество детей у узлов варьируется в широких пределах, ссылка на детей осуществляется через левого ребенка, а остальные дети образуют односвязный список. Каждый узел в биномиальной куче представляется набором полей:*<tex>key</tex> {{---}} ключ (вес) элемента,*<tex>parent</tex> {{---}} указатель на родителя узла,*<tex>child</tex> {{---}} указатель на левого ребенка узла,*<tex>sibling</tex> {{---}} указатель на правого брата узла,*<tex>degree</tex> {{---}} степень узла (количество дочерних узлов данного узла). Корни деревьев, из которых состоит куча, содержатся в так называемом '''списке корней''', при проходе по которому степени соответствующих корней находятся в возрастающем порядке.Доступ к куче осуществляется ссылкой на первый корень в списке корней. == Операции над биномиальными кучами== Рассмотрим операции, которые можно производить с биномиальной кучей. Время работы указано в таблице:{| class="wikitable" style="width:10cm" border=1|+|-align="center" bgcolor=#EEEEFF! Операция || Время работы |-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{insert}</tex>||<tex>O(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{getMinimum}</tex>||<tex>O(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF||<tex>\mathrm{extractMin}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{merge}</tex>||<tex>\Omega(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{decreaseKey}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{delete}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|}Обозначим нашу кучу за <tex>H</tex>. То пусть <tex>H.head</tex> {{---}} указатель на корень биномиального дерева минимального порядка этой кучи. Изначально <tex>H.head = null</tex>, то есть куча не содержит элементов. === getMinimum ===Для нахождения минимального элемента надо найти элемент в списке корней с минимальным значением (предполагается, что ключей, равных <tex>\infty</tex>, нет). Так как корней в этом списке не более <tex>\lfloor \log n \rfloor + 1</tex>, то операция выполняется за <tex>O(\log n)</tex>. При вызове этой процедуры для кучи, изображенной на картинке ниже, будет возвращен указатель на вершину с ключом <tex>1</tex>. [[Файл:binHeapExample1_1.png|370px]] При использовании указателя на биномиальное дерево, которое содержит минимальный элемент, время для этой операции может быть сведено к <tex>O(1)</tex>. Указатель должен обновляться при выполнении любой операции, кроме <tex>\mathrm{getMinimum}</tex>. Это может быть сделано за <tex>O(\log n)</tex>, не ухудшая время работы других операций. === merge ===Эта операция, соединяющая две биномиальные кучи в одну, используется в качестве подпрограммы большинством остальных операций. Вот в чем состоит ее суть: пусть есть две биномиальные кучи с <tex>H</tex> и <tex>H'</tex>. Размеры деревьев в кучах соответствуют двоичным числам <tex>m</tex> и <tex>n</tex>, то есть при наличии дерева соответствующего порядка в этом разряде числа стоит единица, иначе ноль. При сложении столбиком в двоичной системе происходят переносы, которые соответствуют слияниям двух биномиальных деревьев <tex>B_{k-1}</tex> в дерево <tex>B_{k}</tex>. Надо только посмотреть, в каком из сливаемых деревьев корень меньше, и считать его верхним (пример работы для одного случая приведен на рисунке справа; в другом случае подвешиваем наоборот). [[Файл:helpBinaryHeapBoris.png|Пример слияние двух деревьев одного порядка]] Работа этой процедуры начинается с соединения корневых списков куч в единый список, в котором корневые вершины идут в порядке неубывания их степеней. В получившемся списке могут встречаться пары соседних вершин одинаковой степени. Поэтому мы начинаем соединять деревья равной степени и делаем это до тех пор, пока деревьев одинаковой степени не останется. Этот процесс соответствует сложению двоичных чисел столбиком, и время его работы пропорционально числу корневых вершин, то есть операция выполняется за <tex>\Omega(\log n)</tex>.   <code> '''BinomialHeap''' merge(H1 : '''BinomialHeap''', H2 : '''BinomialHeap'''): '''if''' H1 == ''null'' '''return''' H2 '''if''' H2 == ''null'' '''return''' H1 H.head = ''null'' <font color = "green"> // H {{---}}результат слияния </font> curH = H.head <font color = "green"> // слияние корневых списков </font> curH1 = H1.head curH2 = H2.head '''while''' curH1 != ''null'' '''and''' curH2 != ''null'' '''if''' curH1.degree < curH2.degree curH.sibling = curH1 curH = curH1 curH1 = curH1.sibling '''else''' curH.sibling = curH2 curH = curH2 curH2 = curH2.sibling '''if''' curH1 == ''null'' '''while''' curH2 != ''null'' curH.sibling = curH2 curH2 = curH2.sibling '''else''' '''while''' curH1 != ''null'' curH.sibling = curH1 curH1 = curH1.sibling curH = H.head <font color = "green"> // объединение деревьев одной степени </font> '''while''' curH.sibling != ''null'' '''if''' curH.degree == curH.sibling.degree p[curH] = curH.sibling tmp = curH.sibling curH.sibling = curH.sibling.child curH = tmp '''continue''' curH = curH.sibling '''return''' H</code> === insert ===Чтобы добавить новый элемент в биномиальную кучу нужно создать биномиальную кучу <tex>H'</tex> с единственным узлом, содержащим этот элемент, за время <tex>O(1)</tex> и объединить ее с биномиальной кучей <tex>H</tex> за <tex>O(\log n)</tex>, так как в данном случае куча <tex>H'</tex> содержит лишь одно дерево. === extractMin ===

==== Представление биномиальных куч ====Поскольку количество детей у узлов варьируется в широких пределах, ссылка на детей осуществляется через левого ребенка, а остальные дети образуют односвязный список. Каждый Приведенная ниже процедура извлекает узел в с минимальным ключом из биномиальной пирамиде (куче) представляется набором полей:*''key'' {{---}} ключ (вес) элемента;*''parent'' {{---}} кучи и возвращает указатель на родителя узла;*''child'' {{---}} указатель на левого ребенка узла;*''sibling'' {{---}} указатель на правого брата узла;*''degree'' {{---}} степень узла (количество дочерних узлов данного узла)извлеченный узел.

Доступ к куче осуществляется ссылкой на самое левое поддеревоРассмотрим пошагово алгоритм:* Найдем биномиальное дерево с минимальным корневым значением. Корни деревьевПредположим, что это дерево <tex>B_k</tex>. Время работы этого шага алгоритма <tex>\Theta(\log n)</tex>.* Удаляем дерево <tex>B_k</tex> из которых составлена кучакучи <tex>H</tex>. Иными словами, оказываются организованными с помощью поля ''siblingудаляем его корень из списка корней кучи. Это можно сделать за время <tex>O(1)</tex>.* Пусть <tex>H'</tex> {{---}} куча детей найденного корня. При этом мы для каждого из ребенка устанавливаем указатель на предка равным <tex>null</tex>. После этого сливаем кучу <tex>H' в так называемый корневой односвязный список</tex> c <tex>H</tex> за <tex>\Omega(\log n)</tex>.

== Операции над биномиальными пирамидами ==Рассмотрим операции, которые можно производить с биномиальной пирамидой. Их верхние асимптотические оценки показаны в таблице.{| border="1" |Make_Heap |Процедура выполняется за время <tex>\Theta(1\log n)</tex> |- |Insert |, поскольку всего в списке <tex>O\Theta(\lg(log n))</tex> |- |Minimum |корней биномиальных деревьев. И всего у найденного дерева <tex>O(\lg(n))k </tex> |- |Extract_Min |порядка (с минимальным значением ключа) ровно <tex>\Theta(\lg(n))k </tex> |- |Union |детей, то сложность перебора этих детей будет тоже <tex>\OmegaTheta(\lg(log n))</tex> |- |Decrease_Key |. А процесс слияния выполняется за <tex>\ThetaOmega(\lg(log n))</tex> |- |Delete |. Таким образом, операция выполняется <tex>\Theta(\lg(log n))</tex> |}=== Make_Heap ===Для создания пустой биномиальной приамиды процедура Make_Binomial_Heap просто выделяет память и возвращает объект H, где head[H] = nil, то есть пирамида не содержит элементов.

=== Minimum ===Процедура Binomial_Heap_Minimum возвращает указатель на узел с минимальным ключом.Приведенный ниже певдокод предполагает, что ключей, равных <tex>\infty</tex>, нет[[Файл:BinHeapExampleNew31.png|700px|Примеp извлечения минимума]]

Binomial_Yeap_Minimum '''Node''' extractMin(H: '''BinomialHeap''') y : <font color = NIL"green">//поиск корня х с минимальным значением ключа в списке корней Н: </font> x = head[H] min = <tex>\infty</tex> x = ''null'' xBefore = ''null'' curx = H.head curxBefore = ''null'' '''while ''' curx != ''null'' '''if''' curx.key < min <font color = "green"> // релаксируем текущий минимум </font> min = curx.key x = curx xBefore = curxBefore curxBefore = curx curx = curx.sibling '''if''' xBefore == ''null'' <texfont color = "green">\ne//удаление найденного корня x из списка корней деревьев кучи</texfont> NIL do H.head = x.sibling if key['''else''' xBefore.sibling = x.sibling H' = ''null'' <font color = "green">//построение кучи детей вершины x] , при этом изменяем предка соответствующего ребенка на ''null'':< min then/font> y curx = x.child H'.head = x .child '''while''' curx != sibling''null'' p[xcurx]= ''null'' <font color = "green">// меняем указатель на родителя узла curx </font> curx = curx.sibling <font color = "green">// переход к следующему ребенку </font> H = merge(H, H') <font color = "green">// слияние нашего дерева с деревом H' </font> '''return y ''' x</code>

Пример работы процедуры проиллюстрирован на рисунке (<tex>y</tex> {{---}} уменьшаемый элемент, <tex>z</tex> {{---}} его предок). [[Файл:binHeapExample3_2.png|370px]] === Union delete ===Эта операция, соединяющая две биномиальные кучи в одну, используется в качестве подпрограммы большинством остальных операций.Процедура Binomial_Heap_Union многократно связывает биномиальные деревья с корнями одинаковой степени. Приведенная далее процедура связывает дерево Удаление ключа сводится к операциям <math>\mathrm {decreaseKey}</math> и <texmath>B_k\mathrm {extractMin}</texmath> : сначала нужно уменьшить ключ до минимально возможного значения, а затем извлечь вершину с корнем y с деревом минимальным ключом. В процессе выполнения процедуры этот узел всплывает вверх, откуда и удаляется. Процедура выполняется за время <tex>B_{k-1}\Theta(\log n)</tex> с корнем z, делая z родительским узлом для yпоскольку каждая из операций, которые используется в реализации, после чего узел z становится корнем дерева работают за <tex>B_k\Theta(\log n)</tex>. 

Binomial_Link'''function''' delete(yH : '''BinomialHeap''', zx : '''Node'''): p[y] decreaseKey(H, x, <tex>-\infty</tex>) <font color = z"green">// уменьшение ключа до минимально возможного значения </font> sibling[y] extractMin(H) <font color = child[z] child[z] = y degree[z]++"green">// удаление "всплывшего" элемента </font>

Приведенная далее процедура сливает биномиальные кучи === Персистентность ===Биноминальную кучу можно сделать [[Персистентные структуры данных|персистентной]] при реализации на односвязных списках<texref>H_1 и H_2[https://github.com/kgeorgiy/okasaki/tree/master/Okasaki/Chapter3 Github {{---}} реализация на Haskell]</texref>. Для этого будем хранить список корней в порядке возрастания ранга, а детей будем хранить по убыванию ранга. Каждый родитель будет знать ребенка с большим рангом, который является головой списка детей, но ребенок не будет знать родителя. Односвязанные списки хороши с точки зрения функционального программирования, возвращая получаемую так как голова списка не будет достижима из потомков. Тогда при добавлениии новой версии в результате биномиальную прирамидуголову или удалении объявляя другую вершину новой головой мы не будем терять старые версии, которые останутся на месте, так как фактически односвязный список с операциями на голове это [[Персистентный стек|персистентный стек]], который является полностью персистентной функциональной структурой. При этом каждая версия будет поддерживать возможность изменения, что является полным уровнем персистентности. Также поддерживается операция <tex>H_1 и H_2\mathrm {merge}</tex> удаляютсядля всех версий биномиальных куч, что позволяет получать новую версию путём сливания старых. Процедура Binomial_Heap_Merge сливает списки корней Это добавляет конфлюэнтный уровень персистентности. == См. также ==* [[Двоичная куча]]* [[Фибоначчиева куча]]* [[Левосторонняя куча]]* [[Куча Бродала-Окасаки]] ==Примечания== <texreferences />H_1 == Источники информации ==* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальная_куча Википедия {{---}} Биномиальная куча]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_heap Wikipedia {{---}} Binomial heap]* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/ INTUIT.ru {{---}} Биномиальные кучи]* [http://www.lektorium.tv/lecture/?id=14234 Лекция А.С. Станкевича по приоритетным очередям]* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и H_2</tex> в единый связный списоканализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», отсортированный по степеням в монотонно возрастающем порядке2007. — с. 538—558.— ISBN 5-8489-0857-4 [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Приоритетные очереди]][[Категория: Структуры данных‏‎]]