Изменения
Добавлена статья
== Поточечная сходимость ==
То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция {{---}} закон
соответствия, который каждому <tex>x \in E</tex> сопоставляет некоторое число. При этом, все <tex>x</tex> фигурировали
изолированно.
Пусть на <tex>E</tex> <tex>f_n</tex> обладает свойством <tex>P</tex>(например, непрерывность на <tex>E</tex>). И пусть <tex>\forall x</tex> есть
сумма ряда. Возникает вопрос: "Будет ли <tex>f = \sum f_n</tex> обладать свойством <tex>P</tex>?"
Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для <tex>\sum f_n</tex>
свойство <tex>P</tex> может отсутствовать.
<tex>f_n = \begin{cases}
-nx + 1, & x \in [0; \frac1n] \\
0, & x \in (\frac1n; 1]\\
\end{cases}</tex>
Все <tex>f_n</tex> непрерывны на <tex>[0; 1]</tex>. <tex>f_n(0) = 1 \to 1</tex>, <tex>f(0) = 1</tex>.
<tex>0 < x \leq 1</tex>: <tex>\frac1n \to 0</tex>. Тогда, начиная с некоторого <tex>N</tex>, все <tex>\frac1N < x \Rightarrow f_n(x) = 0</tex>
Тогда <tex>f</tex> будет разрывна в нуле, свойство непрерывности не сохранилось.
== Равномерная сходимость ==
Возникает вопрос: "Что ещё надо потребовать от поточечной сходимости, чтобы в пределе <tex>P</tex> сохранилось?"
Классическое требование: равномерная сходимость.
{{Определение
|definition=
<tex>f_1, f_2, \ldots</tex> равномерно сходится к <tex>f(x)</tex>, если
<tex>\forall \varepsilon\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
Пишут, что <tex>f_n \rightrightarrows f</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть на <tex>E</tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>. Тогда он равномерно сходится к
<tex>f = \sum f_n</tex>, если
<tex>\forall\varepsilon\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |s_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
}}
Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как они наиболее используемый аппарат в
математическом анализе.
== Критерий Коши равномерной сходимости ==
{{Теорема
|about=Критерий Коши равномерной сходимости
|statement=Ряд равномерно сходится на <tex>E</tex> <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon\ \exists N\ \forall m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>
|proof=
<tex>\Longrightarrow</tex> Пусть ряд равномерно сходится.
<tex>\sum\limits_{k = n}^m f_k = s_m - s_{n - 1}</tex>
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m \right| = |(s_m - s) - (s - s_{n - 1})|</tex>, где <tex>s</tex> {{---}} сумма ряда. Тогда
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq |s_m - s| + |s_{n - 1} - s|</tex>
По определению равномерной сходимости, <tex>\forall \varepsilon\ \exists N\ \forall p > N\ \forall x \in E : |s_p(x) - s(x)| < \varepsilon</tex>.
<tex>m,n - 1 < N </tex>
В силу предыдущего неравенства, <tex>\forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq 2\varepsilon</tex>, то есть,
выполняется условие критерия Коши.
<tex>\Longleftarrow</tex> Пусть выполняется условие критерия Коши.
<tex>\forall x \in E</tex> для <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x)</tex> выполняется критерий Коши сходиммости числовых рядов.
Значит, этот ряд сходится. На всем <tex>E</tex> определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.
По условию критерия Коши, <tex>\forall m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x) \right| \leq \varepsilon</tex>
Как и в первой половине доказательства,
<tex>|s_m(x) - s_{n - 1}(x)| \leq \varepsilon</tex>, но <tex>s_p(x) \to s(x)</tex>. В неравенстве с <tex>\varepsilon</tex> <tex>X</tex>
можно подставлять любой фиксированный <tex>x</tex>. Устремим <tex>n \to \infty</tex>: <tex>\forall m > N\ \forall x \in E : |s_m(x) - s(x)| \leq \varepsilon</tex>
Значит, определение равномерной сходимости проверено.
}}
== Признак Вейерштрасса ==
Существует простой признак для проверки равномерной сходимости(принак Вейерштрасса)
{{Определение
|definition=
Можно рассматривать <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty |f_n|</tex> и при этом сохраняется терминология числовых рядов,
связанная с абсолютной и условной сходимостью.
}}
Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.
{{Утверждение
|author=Вейерштрасс
|statement=
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>, <tex>\forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n</tex> {{---}} сходится.
Тогда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> равномерно сходится на <tex>E</tex>.
|proof=
Применим критерий Коши:
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x) \right|</tex> <tex>\leq \sum\limits_{k = n}^m |f_k(x)|</tex> <tex>\leq \sum\limits_{k = n}^m a_k</tex>
<tex>\sum\limits_{k = n}^m a_k < +\infty \Rightarrow \forall\varepsilon\ \exists N\ \forall m \geq n > N : \sum\limits_{k = n}^m a_k < \varepsilon</tex>
Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно <tex>\forall x</tex>,
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq \varepsilon</tex>. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.
}}
То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция {{---}} закон
соответствия, который каждому <tex>x \in E</tex> сопоставляет некоторое число. При этом, все <tex>x</tex> фигурировали
изолированно.
Пусть на <tex>E</tex> <tex>f_n</tex> обладает свойством <tex>P</tex>(например, непрерывность на <tex>E</tex>). И пусть <tex>\forall x</tex> есть
сумма ряда. Возникает вопрос: "Будет ли <tex>f = \sum f_n</tex> обладать свойством <tex>P</tex>?"
Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для <tex>\sum f_n</tex>
свойство <tex>P</tex> может отсутствовать.
<tex>f_n = \begin{cases}
-nx + 1, & x \in [0; \frac1n] \\
0, & x \in (\frac1n; 1]\\
\end{cases}</tex>
Все <tex>f_n</tex> непрерывны на <tex>[0; 1]</tex>. <tex>f_n(0) = 1 \to 1</tex>, <tex>f(0) = 1</tex>.
<tex>0 < x \leq 1</tex>: <tex>\frac1n \to 0</tex>. Тогда, начиная с некоторого <tex>N</tex>, все <tex>\frac1N < x \Rightarrow f_n(x) = 0</tex>
Тогда <tex>f</tex> будет разрывна в нуле, свойство непрерывности не сохранилось.
== Равномерная сходимость ==
Возникает вопрос: "Что ещё надо потребовать от поточечной сходимости, чтобы в пределе <tex>P</tex> сохранилось?"
Классическое требование: равномерная сходимость.
{{Определение
|definition=
<tex>f_1, f_2, \ldots</tex> равномерно сходится к <tex>f(x)</tex>, если
<tex>\forall \varepsilon\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
Пишут, что <tex>f_n \rightrightarrows f</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть на <tex>E</tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>. Тогда он равномерно сходится к
<tex>f = \sum f_n</tex>, если
<tex>\forall\varepsilon\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |s_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
}}
Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как они наиболее используемый аппарат в
математическом анализе.
== Критерий Коши равномерной сходимости ==
{{Теорема
|about=Критерий Коши равномерной сходимости
|statement=Ряд равномерно сходится на <tex>E</tex> <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon\ \exists N\ \forall m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>
|proof=
<tex>\Longrightarrow</tex> Пусть ряд равномерно сходится.
<tex>\sum\limits_{k = n}^m f_k = s_m - s_{n - 1}</tex>
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m \right| = |(s_m - s) - (s - s_{n - 1})|</tex>, где <tex>s</tex> {{---}} сумма ряда. Тогда
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq |s_m - s| + |s_{n - 1} - s|</tex>
По определению равномерной сходимости, <tex>\forall \varepsilon\ \exists N\ \forall p > N\ \forall x \in E : |s_p(x) - s(x)| < \varepsilon</tex>.
<tex>m,n - 1 < N </tex>
В силу предыдущего неравенства, <tex>\forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq 2\varepsilon</tex>, то есть,
выполняется условие критерия Коши.
<tex>\Longleftarrow</tex> Пусть выполняется условие критерия Коши.
<tex>\forall x \in E</tex> для <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x)</tex> выполняется критерий Коши сходиммости числовых рядов.
Значит, этот ряд сходится. На всем <tex>E</tex> определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.
По условию критерия Коши, <tex>\forall m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x) \right| \leq \varepsilon</tex>
Как и в первой половине доказательства,
<tex>|s_m(x) - s_{n - 1}(x)| \leq \varepsilon</tex>, но <tex>s_p(x) \to s(x)</tex>. В неравенстве с <tex>\varepsilon</tex> <tex>X</tex>
можно подставлять любой фиксированный <tex>x</tex>. Устремим <tex>n \to \infty</tex>: <tex>\forall m > N\ \forall x \in E : |s_m(x) - s(x)| \leq \varepsilon</tex>
Значит, определение равномерной сходимости проверено.
}}
== Признак Вейерштрасса ==
Существует простой признак для проверки равномерной сходимости(принак Вейерштрасса)
{{Определение
|definition=
Можно рассматривать <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty |f_n|</tex> и при этом сохраняется терминология числовых рядов,
связанная с абсолютной и условной сходимостью.
}}
Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.
{{Утверждение
|author=Вейерштрасс
|statement=
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>, <tex>\forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n</tex> {{---}} сходится.
Тогда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> равномерно сходится на <tex>E</tex>.
|proof=
Применим критерий Коши:
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x) \right|</tex> <tex>\leq \sum\limits_{k = n}^m |f_k(x)|</tex> <tex>\leq \sum\limits_{k = n}^m a_k</tex>
<tex>\sum\limits_{k = n}^m a_k < +\infty \Rightarrow \forall\varepsilon\ \exists N\ \forall m \geq n > N : \sum\limits_{k = n}^m a_k < \varepsilon</tex>
Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно <tex>\forall x</tex>,
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq \varepsilon</tex>. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.
}}
