31
правка
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition = '''Случайное блуждание''' (англ. ''random walk'') {{---}} случайный процесс, состоящий из последовательности случайных шагов на каком-нибудь множестве. Обычно рассматриваются случайные блуждания на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ с началом в нуле и с равновероятными шагами либо на +1, либо на -1.}}
{{Определение
|definition = Иногда также может рассматриваться просто '''блуждание''' {{---}} комбинаторный объект, который появляется как результат случайного блуждания над целочисленной прямой. Блуждание из $n$ шагов можно однозначно задать последовательностью длины $n$, на $i$-й позиции которой стоит либо +1, либо -1, то есть битовым вектором. }}
== Примеры ==
Тут когда-нибудь появятся примеры
== Пути Дика ==
Что-то про пути Дика
== Свойства ==
=== Свойства блужданий ===
{{
Теорема | id=1
|statement=
Число различных блужданий длины $n$ равно $2^n$.
|proof=
Для любого блуждания длины $n$ можно взаимно однозначно сопоставить битовый вектор длины $n$. Таким образом, количество различных блужданий длины $n$ равно количеству битовых векторов, а именно <tex>2^n</tex>.
}}
{{
Теорема | id=2
|statement=
Число различных блужданий длины $n$, заканчивающихся в целой координате $x$ (<tex>|x| \leq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor</tex>), равно <tex>\binom{n}{\frac{n + x}{2}}</tex>, если $n$ и $x$ имеют одинаковую четность, и 0 иначе.
|proof=
Чтобы блуждание закончилось в координает $x$, нужно, чтобы количество движений на +1 было на $x$ больше ($-x$ меньше) количества движений на -1. Ясно, что это невозможно, если координата $x$ имеет не ту же четность, что и $n$, так как в результате любого блуждания из $n$ шагов координата, в которой мы оказываемся в конце, всегда имеет такую же четность, что и $n$. В случае однаковой четности искомое количество равно количеству битовых векторов длины $n$, в которых ровно <tex>\frac{n + x}{2}</tex> единиц. Понятно, что все такие битовые вектора можно получить следующим способом: выберем <tex>\frac{n + x}{2}</tex> позиций в векторе длины $2n$, на этих позициях расположим значение 1, а на остальных {{---}} значение 0. Из построения ясно, что количество таких способов по определению равно числу сочетаний <tex>\binom{n}{\frac{n + x}{2}}</tex>.
}}
|definition = '''Случайное блуждание''' (англ. ''random walk'') {{---}} случайный процесс, состоящий из последовательности случайных шагов на каком-нибудь множестве. Обычно рассматриваются случайные блуждания на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ с началом в нуле и с равновероятными шагами либо на +1, либо на -1.}}
{{Определение
|definition = Иногда также может рассматриваться просто '''блуждание''' {{---}} комбинаторный объект, который появляется как результат случайного блуждания над целочисленной прямой. Блуждание из $n$ шагов можно однозначно задать последовательностью длины $n$, на $i$-й позиции которой стоит либо +1, либо -1, то есть битовым вектором. }}
== Примеры ==
Тут когда-нибудь появятся примеры
== Пути Дика ==
Что-то про пути Дика
== Свойства ==
=== Свойства блужданий ===
{{
Теорема | id=1
|statement=
Число различных блужданий длины $n$ равно $2^n$.
|proof=
Для любого блуждания длины $n$ можно взаимно однозначно сопоставить битовый вектор длины $n$. Таким образом, количество различных блужданий длины $n$ равно количеству битовых векторов, а именно <tex>2^n</tex>.
}}
{{
Теорема | id=2
|statement=
Число различных блужданий длины $n$, заканчивающихся в целой координате $x$ (<tex>|x| \leq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor</tex>), равно <tex>\binom{n}{\frac{n + x}{2}}</tex>, если $n$ и $x$ имеют одинаковую четность, и 0 иначе.
|proof=
Чтобы блуждание закончилось в координает $x$, нужно, чтобы количество движений на +1 было на $x$ больше ($-x$ меньше) количества движений на -1. Ясно, что это невозможно, если координата $x$ имеет не ту же четность, что и $n$, так как в результате любого блуждания из $n$ шагов координата, в которой мы оказываемся в конце, всегда имеет такую же четность, что и $n$. В случае однаковой четности искомое количество равно количеству битовых векторов длины $n$, в которых ровно <tex>\frac{n + x}{2}</tex> единиц. Понятно, что все такие битовые вектора можно получить следующим способом: выберем <tex>\frac{n + x}{2}</tex> позиций в векторе длины $2n$, на этих позициях расположим значение 1, а на остальных {{---}} значение 0. Из построения ясно, что количество таких способов по определению равно числу сочетаний <tex>\binom{n}{\frac{n + x}{2}}</tex>.
}}
