18
правок
Изменения
Объяснил асимптотику
== Нахождение асимптотики рекуррентной последовательности ==
Здесь будет рассмотрен метод поиска функции, которая имеет одинаковую асимптотику<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Асимптотическое равенство]</ref> с <tex>a_n</tex>, то есть при <tex>n \rightarrow \infty</tex> будет отличаться от <tex>a_n</tex> в константу раз. Из [[Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности | теоремы о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности]] известно, что последовательность, заданная рекуррентным соотношением, представима в виде дробно-рациональной производящей функции в следующем виде: <tex>A(t)=\dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, где <tex>Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_s \cdot t^s</tex>, <tex>deg(P) < s</tex>, тогда <tex>Q(t)</tex> — многочлен конечной степени, следовательно, он имеет <tex>s</tex> корней <tex>t_i\in \mathbb{C}</tex>, каждый из которых имеет некоторую кратность <tex>f_i</tex>.
'''Идея'''
Дробно-рациональную производящую функцию можно представить в виде <tex>A(t)=\dfrac{P(t)}{Q(t)}=\dfrac{c_1}{(1-r_1 t)^{f_1}} + \dfrac{c_2}{(1-r_2 t)^{f_2}} + \ldots + \dfrac{c_s}{(1-r_s t)^{f_s}}</tex>, а из [[Произведение Адамара рациональных производящих функций#lemma1 | леммы о представлении коэффициента последовательности, заданной рациональной ПФ, в форме квазимногочлена]] мы знаем, чему равен <tex>n</tex>-й коэффициент последовательности, которую задает каждая дробь, тогда <tex>n</tex>-й коэффициент
<tex>A(t)</tex> будет равен <tex>c_1 \begin{pmatrix} f_1 - 1 + n \\ f_1 - 1 \end{pmatrix} r_1^{n} + c_2 \begin{pmatrix} f_2 - 1 + n \\ f_2 - 1 \end{pmatrix} r_2^{n}+\ldots+
c_s \begin{pmatrix} f_s - 1 + n \\ f_s - 1 \end{pmatrix} r_s^{n}</tex>. Очевидно, наибольший вклад в поведение <tex>a_n</tex> вносит наибольший по модулю <tex>r_i</tex> с наибольшей кратностью <tex>f_i</tex>.
Зная, что <tex>\begin{pmatrix} f_i - 1 + n \\ f_i - 1 \end{pmatrix} = \dfrac{(n + 1)(n + 2)\ldots(n + f_i - 1)}{(f_i - 1)!}</tex>, и, пренебрегая константой, получаем, что <tex>a_n \sim n^{f_i - 1} \cdot r_i^{n}</tex>.
'''Алгоритм'''
Найдем обратные корни к <tex>t_i</tex>, то есть <tex>r_i = \dfrac{1}{t_i}</tex>.
# Существует единственный максимальный по модулю обратный корень: <tex>\exists i: \: \forall j \neq i \; |r_i| > |r_j|</tex>.<br/> Тогда <tex>r_i \in \mathbb{R}</tex>, в этом случае <tex>a_n \sim n^{f_i - 1} \cdot r_{i}^{n}</tex>.
# Существует несколько максимальных по модулю обратных корней:<br/> Найдем коэффициенты корней <tex>c_i</tex>, которые можно получить получаются разложением <tex>A(t)</tex> на сумму простых дробей в вида <tex>\dfrac{c_i}{(1 - r_i t)^{f_i}}</tex>. <br/> Возьмем те обратные корни, кратность которых максимальна, тогда имеем набор <tex>r_1, r_2, \,\dots, r_l</tex>, в котором каждый обратный корень имеет максимальную кратность <tex>f</tex>. Тогда <tex>\forall j \in 1 \,\dots\, l :\; r_j = z e^{i \phi_j}</tex>, где <tex>z</tex> — модуль каждого из корней. <br/>Значит <tex>\displaystyle a_n \sim n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot r_j^n} = n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot (z\cdot e^{i \phi_j})^{n}} = n^{f - 1} z^n \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot e^{i \phi_j n}}</tex>, где <tex>c_j</tex> — коэффициенты, полученные при разбиении дробно-рациональной функции на простые дроби. Подробнее о происхождении этой оценки можно узнать из [[Произведение Адамара рациональных производящих функций#lemma1 | леммы о представлении коэффициента последовательности, заданной рациональной ПФ, в форме квазимногочлена]].
== Примеры задач ==
