Изменения

Для любого <tex>j</tex> можно записать: <tex>\|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}\| \le \|x^{(m)} - x^{(p)}\|^2 \rightarrow 0</tex> при <tex>m, p \rightarrow \infty</tex>. То есть, всякая Всякая последовательность координат сходится к некоторому числу, следовательно фундаментальная последовательность последовательностей покоординатно сходится к некоторой последовательности. Убедимся, что эта последовательность принадлежит <tex>\ell^2</tex> и является пределом <tex>\overline x^{(m)}</tex> по норме. Напишем неравенство:<tex>\sum\limits_{j = 1}^n (x_j^{(m)} - x_j^{(p)})^2 \le \|x^{(m)} - x^{(p)}\|^2</tex> — верно для любого <tex>n</tex>. В силу сходимости в себе последовательности <tex>x^{(m)}</tex>, для любого <tex>\varepsilon</tex> подбираем <tex>M</tex>, что при <tex>m, p > M</tex> имеем <tex>\|x^{(m)} - x^{(p)}\|^2 \le \varepsilon^2</tex>. Считая такими <tex>m</tex> и <tex>p</tex> в предыдущем неравенстве, приходим к оценке:<tex>\sum\limits_{j = 1}^n (x_j^{(m)} - x_j^{(p)})^2 \le \varepsilon^2</tex> для любого <tex>n</tex> и <tex>m, p > M</tex>. В сумме стоит конечное число слагаемых, и при каждом <tex>n</tex> можно перейти к пределу при <tex>p \rightarrow \infty</tex>: <tex>\sum\limits_{j = 1}^n (x_j^{(m)} - x_j)^2 \le \varepsilon^2</tex>. Далее, переходя к пределу при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, получаем: <tex>\sum\limits_{j = 1}^\infty (x_j^{(m)} - x_j)^2 \le \varepsilon^2 \quad (*)</tex> По определению <tex>\ell^2</tex> точка <tex>(x^{(m)} - x) \in \ell^2</tex>. Но <tex>x_j = x_j^{(m)} - (x_j^{(m)} - x_j)</tex>, и, из доказанной ранее алгебраической замкнутости <tex>\ell^2</tex> следует, что <tex>x \in \ell^2</tex>. Теперь можно записать неравенство <tex>(*)</tex> как <tex>\|x^{(m)} - x\| \le \varepsilon</tex>. Поскольку неравенство верно для любого <tex>m > M</tex>, то точка <tex>x</tex> является пределом последовательности <tex>x^{(m)}</tex>.