1679
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Установим классическую асимптотическую формулу Стирлинга для факториала.
Утверждение(формула Стирлинга)
<tex> n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} </tex>
Доказательство:
Выше доказано, что ln(1 + x) = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \dots , ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \dots
Вычтем из первой формулы вторую:
ln(\frac{1 + x}{1 - x}) = 2x + \frac{2x^3}3 + \frac{2x^5}5 + \dots
x = \frac1{2n + 1} - допустимо, |x| < 1.
<tex> \frac{1 + \frac1{2n + 1}}{1 - \frac1{2n + 1}} = \frac{n + 1}n </tex>
<tex> ln \frac{n + 1}n = 2 \left ( \frac1{2n + 1} + \frac13 {\left (\frac1{2n + 1} \right )}^3 + \dots \right ) = \frac1{n + \frac12} \left ( 1 + \frac13 {\left ( \frac1{2n + 1} \right )}^2 + \dots \right ) </tex>
Ясно, что скобка больше единицы(??? какая скобка)
ln (1 + \frac1n) \cdot (n + \frac12) > 1
С другой стороны,
1 + \frac13 {\left ( \frac1{2n + 1} \right )}^2 + \frac15 {\left ( \frac1{2n + 1} \right )}^4 + \dots < 1 + \frac13 {\left ( \frac1{2n + 1} \right )}^2 + \frac13 {\left ( \frac1{2n + 1} \right )}^4 + \dots = \\
= 1 + \frac13 q_n^2 + \frac13 q_n^4 + \dots = 1 + \frac13 \left ( \frac{q_n^2}{1 - q_n^2} \right ) = \\
= 1 + \frac13
